Periodic Jacobi-Perron expansions associated with a unit
Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 23 (2011) no. 3, pp. 527-539.

Nous démontrons que, pour toute unité ϵ dans un corps de nombres réel K de degré n+1, il existe seulement un nombre fini de n-uples dans K n qui ont un développement purement périodique par l’algorithme de Jacobi-Perron. Ce résultat généralise le cas des fractions continues pour n=1. Pour n=2 nous donnons un algorithme qui permet de calculer explicitement tous ces couples.

We prove that, for any unit ϵ in a real number field K of degree n+1, there exits only a finite number of n-tuples in K n which have a purely periodic expansion by the Jacobi-Perron algorithm. This generalizes the case of continued fractions for n=1. For n=2 we give an explicit algorithm to compute all these pairs.

DOI : 10.5802/jtnb.776
Brigitte Adam 1 ; Georges Rhin 2

1 2, rue clos du pré 57530 Courcelles-Chaussy, France
2 UMR CNRS 7122 Département de Mathématiques UFR MIM Université de Metz Ile du Saulcy 57045 Metz Cedex 01, France
@article{JTNB_2011__23_3_527_0,
     author = {Brigitte Adam and Georges  Rhin},
     title = {Periodic {Jacobi-Perron} expansions associated with a unit},
     journal = {Journal de th\'eorie des nombres de Bordeaux},
     pages = {527--539},
     publisher = {Soci\'et\'e Arithm\'etique de Bordeaux},
     volume = {23},
     number = {3},
     year = {2011},
     doi = {10.5802/jtnb.776},
     mrnumber = {2861074},
     zbl = {1270.11068},
     language = {en},
     url = {https://jtnb.centre-mersenne.org/articles/10.5802/jtnb.776/}
}
TY  - JOUR
AU  - Brigitte Adam
AU  - Georges  Rhin
TI  - Periodic Jacobi-Perron expansions associated with a unit
JO  - Journal de théorie des nombres de Bordeaux
PY  - 2011
SP  - 527
EP  - 539
VL  - 23
IS  - 3
PB  - Société Arithmétique de Bordeaux
UR  - https://jtnb.centre-mersenne.org/articles/10.5802/jtnb.776/
DO  - 10.5802/jtnb.776
LA  - en
ID  - JTNB_2011__23_3_527_0
ER  - 
%0 Journal Article
%A Brigitte Adam
%A Georges  Rhin
%T Periodic Jacobi-Perron expansions associated with a unit
%J Journal de théorie des nombres de Bordeaux
%D 2011
%P 527-539
%V 23
%N 3
%I Société Arithmétique de Bordeaux
%U https://jtnb.centre-mersenne.org/articles/10.5802/jtnb.776/
%R 10.5802/jtnb.776
%G en
%F JTNB_2011__23_3_527_0
Brigitte Adam; Georges  Rhin. Periodic Jacobi-Perron expansions associated with a unit. Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 23 (2011) no. 3, pp. 527-539. doi : 10.5802/jtnb.776. https://jtnb.centre-mersenne.org/articles/10.5802/jtnb.776/

[1] B. Adam, Voronoï-algorithm expansion of two families with period length going to infinity. Math. of Comp. 64 (1995), no 212, 1687–1704. | MR | Zbl

[2] B. Adam and G. Rhin, Algorithme des fractions continues et de Jacobi-Perron. Bull. Austral. Math. Soc. 53 (1996), 341–350. | MR | Zbl

[3] L. Bernstein, The Jacobi-Perron Algorithm, Its Theory and Application. Lecture Notes in Mathematics, 207, Springer-Verlag, Berlin-New York, 1971. | MR | Zbl

[4] L. Bernstein, Einheitenberechnung in kubischen Körpern mittels des Jacobi-Perronschen Algorithmus aus der Rechenanlage. J. Reine Angew. Math. 244 (1970), 201–220. | MR | Zbl

[5] L. Bernstein, A 3-Dimensional Periodic Jacobi-Perron Algorithm of Period Length 8. J. of Number Theory 4 (1972), no.1, 48–69. | MR | Zbl

[6] L. Bernstein, On units and fundamental units. J. Reine Angew. Math. 257 (1972), 129–145. | MR | Zbl

[7] H. Cohen, A Course in Computational Algebraic Number Theory. Graduate Texts in Maths, 138, Springer Verlag, 2007. | MR | Zbl

[8] E. Dubois and R. Paysant-Le Roux, Une application des nombres de Pisot à l’algorithme de Jacobi-Perron. Monatschefte für Mathematik 98 (1984), 145–155. | MR | Zbl

[9] E. Dubois, A. Farhane and R. Paysant-Le Roux, The Jacobi-Perron Algorithm and Pisot numbers. Acta Arith. 111 (2004), no 3, 269–275. | MR | Zbl

[10] J. C. Lagarias, The Quality of the Diophantine Approximations found by the Jacobi-Perron Algorithm and Related Algorithms. Monatschefte für Math. 115 (1993), 299–328. | MR | Zbl

[11] C. Levesque and G. Rhin, Two Families of Periodic Jacobi Algorithms with Period Lengths Going to Infinity. Jour. of Number Theory 37 (1991), no. 2, 173–180. | MR | Zbl

[12] C. Batut, K. Belabas, D. Bernardi, H. Cohen and M. Olivier, GP-Pari version 2.3.4 (2009).

[13] O. Perron, Grundlagen für eine Theorie des Jacobischen Kettenbruchalgorithmus. Math. Ann. 64 (1907), 1–76. | MR

[14] H. J. Stender, Eine Formel für Grundeinheiten in reinen algebraischen Zahlkörpern dritten, vierten und sechsten Grades. Jour. of Number Theory 7 (1975), no. 2, 235–250. | MR | Zbl

[15] http://www.math.univ-metz.fr/~rhin

Cité par Sources :