Let be a polynomial of degree at least 2 with coefficients in a number field , let be a sufficiently general element of , and let be a root of . We give precise conditions under which Newton iteration, started at the point , converges -adically to the root for infinitely many places of . As a corollary we show that if is irreducible over of degree at least 3, then Newton iteration converges -adically to any given root of for infinitely many places . We also conjecture that the set of places for which Newton iteration diverges has full density and give some heuristic and numerical evidence.
Soit un polynôme de degré au moins 2 avec coefficients dans un corps de nombres , soit un élément suffisamment général de , et soit une racine de . Nous précisons des conditions pour lesquelles l’itération de Newton, commençant au point , converge -adiquement vers la racine pour un nombre infini de places de . Comme corollaire, nous montrons que si est irréductible sur de degré au moins 3, l’itération de Newton converge -adiquement vers chaque racine de pour un nombre infini de places de . Nous faisons aussi la conjecture que le nombre de places telles que l’itération de Newton ne converge pas a densité un et nous donnons des évidences heuristiques et numériques.
Keywords: Arithmetic Dynamics, Newton’s Method, Primitive Prime Factors
@article{JTNB_2011__23_2_387_0, author = {Xander Faber and Jos\'e Felipe Voloch}, title = {On the number of places of convergence for {Newton{\textquoteright}s} method over number fields}, journal = {Journal de th\'eorie des nombres de Bordeaux}, pages = {387--401}, publisher = {Soci\'et\'e Arithm\'etique de Bordeaux}, volume = {23}, number = {2}, year = {2011}, doi = {10.5802/jtnb.768}, mrnumber = {2817936}, zbl = {1223.37118}, language = {en}, url = {https://jtnb.centre-mersenne.org/articles/10.5802/jtnb.768/} }
TY - JOUR AU - Xander Faber AU - José Felipe Voloch TI - On the number of places of convergence for Newton’s method over number fields JO - Journal de théorie des nombres de Bordeaux PY - 2011 SP - 387 EP - 401 VL - 23 IS - 2 PB - Société Arithmétique de Bordeaux UR - https://jtnb.centre-mersenne.org/articles/10.5802/jtnb.768/ DO - 10.5802/jtnb.768 LA - en ID - JTNB_2011__23_2_387_0 ER -
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Xander Faber; José Felipe Voloch. On the number of places of convergence for Newton’s method over number fields. Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Volume 23 (2011) no. 2, pp. 387-401. doi : 10.5802/jtnb.768. https://jtnb.centre-mersenne.org/articles/10.5802/jtnb.768/
[1] Xander Faber and Andrew Granville Prime factors of dynamical sequences. To appear in J. Reine Angew. Math. ArXiv:0903.1344v1. | Zbl
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[3] Alain M. Robert, A course in -adic analysis. Volume 198 of Graduate Texts in Mathematics. Springer-Verlag, New York, 2000. | MR | Zbl
[4] Joseph H. Silverman and José Felipe Voloch, A local-global criterion for dynamics on . Acta Arith. 137(3) (2009), 285–294. | EuDML | MR | Zbl
Cited by Sources: