On the ring of $p$-integers of a cyclic $p$-extension over a number field

Humio Ichimura

doi:10.5802/jtnb.520

On the ring of

p

-integers of a cyclic

p

-extension over a number field

Humio Ichimura ¹

¹ Faculty of Science Ibaraki University 2-1-1, Bunkyo, Mito, Ibaraki, 310-8512 Japan

Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 17 (2005) no. 3, pp. 779-786.

Résumé
Abstract

Soit $p$ un nombre premier. On dit qu’une extension finie, galoisienne, $N / F$ d’un corps de nombres $F$ , à groupe de Galois $G$ , admet une base normale $p$ -entière ( $p$ -NIB en abrégé) si $𝒪_{N}^{'}$ est libre de rang un sur l’anneau de groupe $𝒪_{F}^{'} [G]$ où $𝒪_{F}^{'} = 𝒪_{F} [1 / p]$ désigne l’anneau des $p$ -entiers de $F$ . Soit $m = p^{e}$ une puissance de $p$ et $N / F$ une extension cyclique de degré $m$ . Lorsque $ζ_{m} \in F^{\times}$ , nous donnons une condition nécessaire et suffisante pour que $N / F$ admette une $p$ -NIB (Théorème 3). Lorsque $ζ_{m} \notin F^{\times}$ et $p ∤ [F (ζ_{m}) : F]$ , nous montrons que $N / F$ admet une $p$ -NIB si et seulement si $N (ζ_{m}) / F (ζ_{m})$ admet $p$ -NIB (Théorème 1). Enfin, si $p$ divise $[F (ζ_{m}) : F]$ , nous montrons que la propriété de descente n’est plus vraie en général (Théorème 2).

Let $p$ be a prime number. A finite Galois extension $N / F$ of a number field $F$ with group $G$ has a normal $p$ -integral basis ( $p$ -NIB for short) when $𝒪_{N}^{'}$ is free of rank one over the group ring $𝒪_{F}^{'} [G]$ . Here, $𝒪_{F}^{'} = 𝒪_{F} [1 / p]$ is the ring of $p$ -integers of $F$ . Let $m = p^{e}$ be a power of $p$ and $N / F$ a cyclic extension of degree $m$ . When $ζ_{m} \in F^{\times}$ , we give a necessary and sufficient condition for $N / F$ to have a $p$ -NIB (Theorem 3). When $ζ_{m} \notin F^{\times}$ and $p ∤ [F (ζ_{m}) : F]$ , we show that $N / F$ has a $p$ -NIB if and only if $N (ζ_{m}) / F (ζ_{m})$ has a $p$ -NIB (Theorem 1). When $p$ divides $[F (ζ_{m}) : F]$ , we show that this descent property does not hold in general (Theorem 2).

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DOI : 10.5802/jtnb.520

Affiliations des auteurs :

Humio Ichimura ¹

¹ Faculty of Science Ibaraki University 2-1-1, Bunkyo, Mito, Ibaraki, 310-8512 Japan

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Humio Ichimura. On the ring of $p$-integers of a cyclic $p$-extension over a number field. Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 17 (2005) no. 3, pp. 779-786. doi : 10.5802/jtnb.520. https://jtnb.centre-mersenne.org/articles/10.5802/jtnb.520/

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