Let $\chi $ be a primitive Dirichlet character modulo $q$, and let $\delta > 0$. Assuming that $\chi $ has large order $d$, for any $d$th root of unity $\alpha $ we obtain non-trivial upper bounds for the number of $n \le x$ such that $\chi (n) = \alpha $, provided $x > q^{\delta }$. This improves upon a previous result of the first author by removing restrictions on $q$ and $d$. As a corollary, we deduce that if the largest prime factor of $d$ satisfies $P^+(d) \rightarrow \infty $ then the level set $\chi (n) = \alpha $ has $o(x)$ such solutions whenever $x > q^{\delta }$, for any fixed $\delta > 0$.
Our proof relies, among other things, on a refinement of a mean-squared estimate for short sums of the characters $\chi ^\ell $, averaged over $1 \le \ell \le d-1$, due to the first author, which goes beyond Burgess’ theorem as soon as $d$ is sufficiently large. We in fact show the alternative result that the partial sum of either (a) $\chi $ itself, or (b) $\chi ^\ell $, for “almost all” $1 \le \ell \le d-1$, exhibits cancellation on the interval $[1,q^{\delta }]$, for any fixed $\delta > 0$.
By an analogous method, we also show that the Pólya–Vinogradov inequality may be improved for either $\chi $ itself or for almost all $\chi ^\ell $, with $1 \le \ell \le d-1$. In particular, our averaged estimates are non-trivial whenever $\chi $ has sufficiently large even order $d$.
Soit $\chi $ un caractère de Dirichlet primitif, de module $q$, et soit $\delta > 0$. Étant donné que l’ordre de $\chi $, noté $d$, est suffisamment large, nous obtenons une borne supérieure non-triviale pour le nombre de solutions en $n \le x$ à l’équation $\chi (n) = \alpha $, quelque soit $\alpha $ parmi les racines de l’unité d’ordre $d$, pourvu que $x > q^\delta $. Ceci améliore un résultat du premier auteur en supprimant des contraintes sur les paramètres $q$ et $d$. On en déduit comme corollaire que si le plus grand facteur premier de $d$ satisfait $P^+(d) \rightarrow \infty $ avec $q$ alors le nombre de solutions en $n \le x$ à $\chi (n) = \alpha $ est de taille $o(x)$ dans ce même domaine de $x$.
Note démonstration repose, entre autres, sur une amélioration d’une estimation en moyenne carré sur $1 \le \ell \le d-1$, des sommes courtes des caractères $\chi ^\ell $, obtenu par le premier auteur, et qui est supérieur au théorème de Burgess lorsque $d$ est suffisamment large. En fait, nous montrons un résultat facultatif, selon lequel la somme partielle de soit (a) $\chi $ elle-même, soit (b) $\chi ^\ell $ pour “presque tout” $1 \le \ell \le d-1$, manifeste de l’annulation dans l’intervalle $[1,q^\delta ]$, pour n’importe quel $\delta > 0$ fixé.
Par une méthode semblable, nous montrons également que l’inégalité de Pólya–Vinogradov peut être amélioré, soit pour $\chi $, soit pour presque tout les $\chi ^\ell $, $1 \le \ell \le d-1$. En particulier, notre estimation en moyenne est non-triviale même lorsque $d$ est un entier pair, pourvu qu’il est suffisamment grand.
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Keywords: Dirichlet character sums, inverse sumset theorems, pretentious number theory, multiplicative functions, additive combinatorics
Alexander P. Mangerel 1 ; Yichen You 1
CC-BY-ND 4.0
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