On the class number of pairs of binary quadratic forms
András Biró1
1 HUN-REN Alfréd Rényi Institute of Mathematics, 1053 Budapest, Reáltanoda u. 13-15, Hungary
Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 37 (2025) no. 3, pp. 897-924

If $d_1, d_2, t \in \mathbb{Z}$, let $h(d_1, d_2, t)$ be the number of $\mathrm{SL}_2(\mathbb{Z})$-equivalence classes of pairs $(Q_1, Q_2)$ of quadratic forms with integer coefficients satisfying that the discriminant of $Q_i$ is $d_i$, and the codiscriminant of $Q_1$ and $Q_2$ is $t$. We give an explicit formula for $h(d_1, d_2, t)$ assuming that $d_i$ is not a square of an integer $(i=1,2)$, and $t^2 - d_1 d_2 \ne 0$. Previously such formulas were known only under some coprimality conditions.

Pour $d_1, d_2, t \in \mathbb{Z}$, soit $h(d_1, d_2, t)$ le nombre de $\mathrm{SL}_2(\mathbb{Z})$-classes d’équivalence des couples $(Q_1, Q_2)$ de formes quadratiques à coefficients entiers tels que le discriminant de $Q_i$ est $d_i$, et le codiscriminant de $Q_1$ et $Q_2$ est $t$. On donne une formule explicite pour $h(d_1, d_2, t)$ en supposant que $d_i$ n’est pas un carré parfait $(i=1,2)$, et $t^2 - d_1 d_2 \ne 0$. Auparavant, de telles formules n’étaient connues que sous certaines conditions de coprimalité.

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DOI : 10.5802/jtnb.1346
Classification : 11D09, 11E41
Keywords: class number of pairs of quadratic forms, Hilbert symbol

András Biró 1

1 HUN-REN Alfréd Rényi Institute of Mathematics, 1053 Budapest, Reáltanoda u. 13-15, Hungary
Licence : CC-BY-ND 4.0
Droits d'auteur : Les auteurs conservent leurs droits 
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András Biró. On the class number of pairs of binary quadratic forms. Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 37 (2025) no. 3, pp. 897-924. doi: 10.5802/jtnb.1346

[1] András Biró Local square mean in the hyperbolic circle problem (2024) | arXiv

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