The local lifting problem for $(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^3$
Guillaume Pagot1
1 Lycée Louis Barthou, France
Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 37 (2025) no. 3, pp. 837-871

Let $k$ be an algebraically closed field of characteristic $2$. In this paper we describe the $(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^3$-actions on $k[[z]]$ for which there is a discrete valuation ring $R$, a finite extension of the ring of Witt vectors $W(k)$, such that they can be lifted as a group of $R$-automorphisms of $R[[Z]]$. In fact the necessary and sufficient condition for such an action to lift involves only the conductor type of the corresponding extension.

Soit $k$ un corps algébriquement clos de caractéristique $2$. Dans cet article nous donnons une description des actions de groupe $(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^3$ sur $k[[z]]$ pour lesquelles il existe un anneau de valuation discrète $R$, extension finie de l’anneau des vecteurs de Witt $W(k)$, tel que cette action se relève en un groupe de $R$-automorphismes de $R[[Z]]$. La condition nécessaire et suffisante pour que ce relèvement soit possible ne fait intervenir que le type de conducteur de l’extension.

Reçu le :
Révisé le :
Accepté le :
Publié le :
DOI : 10.5802/jtnb.1344
Classification : 14H30, 14H37, 12F10, 13A35
Keywords: Lifting to characteristic zero of group actions

Guillaume Pagot 1

1 Lycée Louis Barthou, France
Licence : CC-BY-ND 4.0
Droits d'auteur : Les auteurs conservent leurs droits 
@article{JTNB_2025__37_3_837_0,
     author = {Guillaume Pagot},
     title = {The local lifting problem for $(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^3$},
     journal = {Journal de th\'eorie des nombres de Bordeaux},
     pages = {837--871},
     year = {2025},
     publisher = {Soci\'et\'e Arithm\'etique de Bordeaux},
     volume = {37},
     number = {3},
     doi = {10.5802/jtnb.1344},
     language = {en},
     url = {https://jtnb.centre-mersenne.org/articles/10.5802/jtnb.1344/}
}
TY  - JOUR
AU  - Guillaume Pagot
TI  - The local lifting problem for $(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^3$
JO  - Journal de théorie des nombres de Bordeaux
PY  - 2025
SP  - 837
EP  - 871
VL  - 37
IS  - 3
PB  - Société Arithmétique de Bordeaux
UR  - https://jtnb.centre-mersenne.org/articles/10.5802/jtnb.1344/
DO  - 10.5802/jtnb.1344
LA  - en
ID  - JTNB_2025__37_3_837_0
ER  - 
%0 Journal Article
%A Guillaume Pagot
%T The local lifting problem for $(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^3$
%J Journal de théorie des nombres de Bordeaux
%D 2025
%P 837-871
%V 37
%N 3
%I Société Arithmétique de Bordeaux
%U https://jtnb.centre-mersenne.org/articles/10.5802/jtnb.1344/
%R 10.5802/jtnb.1344
%G en
%F JTNB_2025__37_3_837_0
Guillaume Pagot. The local lifting problem for $(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^3$. Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 37 (2025) no. 3, pp. 837-871. doi: 10.5802/jtnb.1344

[1] José Bertin Obstructions locales au relèvement de revêtements galoisiens de courbes lisses, Comptes Rendus. Mathématique, Volume 326 (1998) no. 1, pp. 55-58 | Zbl

[2] José Bertin; Ariane Mézard Déformations formelles des revêtements sauvagement ramifiés de courbes algébriques, Invent. Math., Volume 141 (2000) no. 1, pp. 195-238 | Zbl | DOI | MR

[3] Irene I. Bouw; Stefan Wewers The local lifting problem for dihedral groups, Duke Math. J., Volume 134 (2006) no. 3, pp. 421-452 | Zbl | MR

[4] Ted Chinburg; Robert Guralnick; David Harbater Oort groups and lifting problems, Compos. Math., Volume 144 (2008) no. 4, pp. 849-866 | Zbl | DOI | MR

[5] Huy Dang; Soumyadip Das; Kostas Karagiannis; Andrew Obus; Vaidehee Thatte Local Oort groups and the isolated differential data criterion, J. Théor. Nombres Bordeaux, Volume 34 (2022) no. 1, pp. 251-269 | Zbl | DOI | Numdam | MR

[6] Marco A. Garuti Prolongement de revêtements galoisiens en géométrie rigide, Compos. Math., Volume 104 (1996) no. 3, pp. 305-331 | Numdam | Zbl | MR

[7] Barry Green; Michel Matignon Liftings of Galois covers of smooth curves, Compos. Math., Volume 113 (1998) no. 3, pp. 239-274 | Zbl | MR

[8] Barry Green; Michel Matignon Order p automorphisms of the open disc of a p-adic field, J. Am. Math. Soc., Volume 12 (1999) no. 1, pp. 269-303 | Zbl | DOI | MR

[9] Séminaire de géométrie algébrique du Bois Marie 1960/61 (SGA 1) (Alexander Grothendieck, ed.), Lecture Notes in Mathematics, 224, Springer, 1971

[10] Yannick Henrio Arbres de Hurwitz et automorphismes d’ordre p des disques et des couronnes p-adiques formels, Ph. D. Thesis, Université Bordeaux 1 (France) (1999) (https://tel.archives-ouvertes.fr/tel-03547236)

[11] Aristides Kontogergis; Alexios Terezakis A new obstruction to the local lifting problem (2023) | arXiv | Zbl

[12] Michel Matignon Lifting (ℤ/2ℤ) 2 -actions according to G. Pagot, (3-10-2003) (https://www.math.u-bordeaux.fr/~mmatigno/chap5.ps)

[13] Michel Matignon Lecture I. Liftings of Galois covers of smooth curves, 1998 Chuo Univ. Tokyo Rigid geometry and group actions, (Kyoto, 1998), https://www.math.u-bordeaux.fr/~mmatigno/rigid1.ps. Published in RIMS Kokyuroku 1073 (1998), p. 98-105. | Zbl

[14] Michel Matignon p-groupes abéliens de type (p,⋯,p) et disques ouverts p-adiques, Manuscr. Math., Volume 99 (1999) no. 1, pp. 93-109 | Zbl | DOI | MR

[15] Andrew Obus The local lifting problem for A 4 , Algebra Number Theory, Volume 10 (2016) no. 8, pp. 1683-1693 | DOI | Zbl | MR

[16] Andrew Obus A generalization of the Oort Conjecture, Comment. Math. Helv., Volume 92 (2017) no. 3, pp. 551-620 | DOI | Zbl | MR

[17] Andrew Obus Lifting of curves with automorphisms, Open problems in arithmetic algebraic geometry (Advanced Lectures in Mathematics), Volume 46, International Press; Higher Education Press, 2019, pp. 9-59 | Zbl

[18] Andrew Obus; Stefan Wewers Cyclic extensions and the local lifting problem, Ann. Math., Volume 180 (2014) no. 1, pp. 233-284 | DOI | Zbl

[19] Guillaume Pagot Relèvement en caractéristique zéro d’actions de groupes abéliens de type (p,⋯,p), Ph. D. Thesis, Université Bordeaux 1 (France) (2022) (Thèse universitaire n°2603, https://tel.archives-ouvertes.fr/tel-03514229)

[20] Florian Pop The Oort conjecture on lifting covers of curves, Ann. Math., Volume 180 (2014) no. 1, pp. 285-322 | Zbl

[21] Peter Roquette Abschätzung der Automorphismenzahl von Funktionenkörpern bei Primzahlcharacteristik, Math. Z., Volume 117 (1970), pp. 157-163 | DOI | Zbl | MR

[22] Bradley Weaver The local lifting problem for D 4 , Isr. J. Math., Volume 228 (2018) no. 2, pp. 587-626 | DOI | Zbl | MR

[23] Jianing Yang Lifting elementary abelian covers of curves, J. Algebra, Volume 663 (2025), pp. 289-315 | Zbl | DOI | MR

Cité par Sources :