The $p$-arithmetic homology of mod $p$ representations of $\mathrm{GL}_2(\mathbb{Q}_p)$
Guillem Tarrach1
1 Department of Pure Mathematics and Mathematical Statistics University of Cambridge, Centre for Mathematical Sciences Wilberforce Road, Cambridge CB3 0WB, UK
Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 37 (2025) no. 1, pp. 299-323

We compute the non-Eisenstein systems of Hecke eigenvalues contributing to the $p$-arithmetic homology of irreducible smooth mod $p$ representations $\pi $ of $\mathrm{GL}_2(\mathbb{Q}_p)$ and to the cohomology of their duals. We show that in most cases they are associated to odd irreducible 2-dimensional Galois representations whose local component at $p$ corresponds under the mod $p$ local Langlands correspondence to a smooth representation that contains $\pi $ as a subrepresentation.

Nous calculons les systèmes non-Eisenstein de valeurs propres de Hecke contribuant à l’homologie $p$-arithmétique des représentations lisses irréductibles $\pi $ de $\mathrm{GL}_2(\mathbb{Q}_p)$ modulo $p$ et à la cohomologie de leurs duaux. Nous montrons que, dans la plupart des cas, ces systèmes sont associés à des représentations galoisiennes irréductibles de dimension 2 impaires, dont la composante locale en $p$ correspond, via la correspondance locale de Langlands modulo $p$, à une représentation lisse contenant $\pi $ comme sous-représentation.

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DOI : 10.5802/jtnb.1322
Classification : 11F75, 11F70, 11F80
Keywords: Local-global compatibility, $p$-arithmetic cohomology

Guillem Tarrach 1

1 Department of Pure Mathematics and Mathematical Statistics University of Cambridge, Centre for Mathematical Sciences Wilberforce Road, Cambridge CB3 0WB, UK
Licence : CC-BY-ND 4.0
Droits d'auteur : Les auteurs conservent leurs droits 
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Guillem Tarrach. The $p$-arithmetic homology of mod $p$ representations of $\mathrm{GL}_2(\mathbb{Q}_p)$. Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 37 (2025) no. 1, pp. 299-323. doi: 10.5802/jtnb.1322

[1] Laure Barthel; Ron Livné Irreducible modular representations of GL 2 of a local field, Duke Math. J., Volume 75 (1994) no. 2, pp. 261-292 | DOI | MR | Zbl

[2] Armand Borel; Jean-Pierre Serre Cohomologie d’immeubles et de groupes S-arithmétiques, Topology, Volume 15 (1976) no. 3, pp. 211-232 | DOI | MR | Zbl

[3] Christophe Breuil Sur quelques représentations modulaires et p-adiques de GL 2 (Q p ). I, Compos. Math., Volume 138 (2003) no. 2, pp. 165-188 | DOI | MR | Zbl

[4] Kevin Buzzard; Fred Diamond; Frazer Jarvis On Serre’s conjecture for mod ℓ Galois representations over totally real fields, Duke Math. J., Volume 155 (2010) no. 1, pp. 105-161 | DOI | MR | Zbl

[5] Ana Caraiani; Matthew Emerton; Toby Gee; David Geraghty; Vytautas Paškūnas; Sug Woo Shin Patching and the p-adic Langlands program for GL 2 (ℚ p ), Compos. Math., Volume 154 (2018) no. 3, pp. 503-548 | DOI | MR | Zbl

[6] Pierre Colmez Représentations de GL 2 (Q p ) et (ϕ,Γ)-modules, Représentations p-adiques de groupes p-adiques II: Représentations de GL 2 (ℚ p ) et (φ,Γ)-modules (Astérisque), Volume 330, Société Mathématique de France, 2010, pp. 281-509 | MR | Zbl | Numdam

[7] Bas Edixhoven The weight in Serre’s conjectures on modular forms, Invent. Math., Volume 109 (1992) no. 3, pp. 563-594 | DOI | MR | Zbl

[8] Bas Edixhoven; Chandrashekhar Khare Hasse invariant and group cohomology, Doc. Math., Volume 8 (2003), pp. 43-50 | MR | DOI | Zbl

[9] Matthew Emerton Local-global compatibility in the p-adic Langlands programme for GL 2/ℚ (unpublished)

[10] Benedict H. Gross A tameness criterion for Galois representations associated to modular forms (mod p), Duke Math. J., Volume 61 (1990) no. 2, pp. 445-517 | DOI | MR | Zbl

[11] Jan Kohlhaase; Benjamin Schraen Homological vanishing theorems for locally analytic representations, Math. Ann., Volume 353 (2012) no. 1, pp. 219-258 | DOI | MR | Zbl

[12] Vytautas Paškūnas The image of Colmez’s Montreal functor, Publ. Math., Inst. Hautes Étud. Sci., Volume 118 (2013), pp. 1-191 | DOI | MR | Numdam | Zbl

[13] Jean-Pierre Serre Trees, Springer, 1980, ix+142 pages (translated from the French by John Stillwell) | MR | DOI | Numdam | Zbl

[14] Jean-Pierre Serre Sur les représentations modulaires de degré 2 de Gal(Q ¯/Q), Duke Math. J., Volume 54 (1987) no. 1, pp. 179-230 | DOI | MR | Zbl

[15] Guillem Tarrach S-arithmetic (co)homology and p-adic automorphic forms (2023) | arXiv | DOI

[16] Andrew Wiles Modular elliptic curves and Fermat’s last theorem, Ann. Math. (2), Volume 141 (1995) no. 3, pp. 443-551 | DOI | MR | Zbl

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