A mod-$p$ metaplectic Montréal functor

Robin Witthaus

doi:10.5802/jtnb.1319

A mod-

p

metaplectic Montréal functor

Robin Witthaus ¹

¹ Universität Duisburg-Essen Fakultät für Mathematik Thea-Leymann-Str. 9 45127 Essen Deutschland

Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 37 (2025) no. 1, pp. 189-235

Abstract (VO)
Résumé

We extend Colmez’s functor defined for ${GL}_{2} (Q_{p})$ to the category of finitely generated smooth admissible mod- $p$ representations of the two-fold metaplectic cover of ${GL}_{2} (Q_{p})$ – a central extension by the roots of unity $μ_{2}$ in $Q$ . We compute the images of the absolutely irreducible objects, which are genuine, i.e. on which the central subgroup $μ_{2}$ acts via the non-trivial character, and obtain a bijection between genuine supersingular representations and four-dimensional irreducible Galois representations invariant under twist by all characters of order two. Restricted to genuine representations, the extended functor naturally takes values in the category of what we call metaplectic Galois representations – Galois representations with a certain extra structure encoding the aforementioned twist-invariance.

Nous étendons le foncteur de Colmez, défini pour ${GL}_{2} (Q_{p}),$ à la catégorie des représentations modulo $p$ admissibles, lisses de type fini du revêtement double métaplectique de ${GL}_{2} (Q_{p})$ — une extension centrale par le groupe des racines de l’unité $μ_{2}$ de $Q$ . Nous calculons les images des objets absolument irréductibles, qui sont propres, i.e. sur lesquels le sous-groupe central $μ_{2}$ agit via le caractère non-trivial, et nous obtenons une bijection entre les représentations supersingulières propres et les représentations galoisiennes irréductibles de dimensions quatre invariantes par torsion par tous les caractères d’ordre deux. Restreint aux représentations propres, le foncteur étendu est naturellement à valeurs dans la catégorie des représentations galoisiennes munies d’une certaine structure supplémentaire qui encode l’invariance par torsion, que nous appelons représentations galoisiennes métaplectiques.

Reçu le : 2023-09-17
Révisé le : 2024-08-23
Accepté le : 2024-10-17
Publié le : 2025-06-23

DOI : 10.5802/jtnb.1319

Classification : 11F32, 11F80, 11SXX, 11F37
Keywords: Half-integral weight modular forms, metaplectic, mod-

p

local Langlands, supersingular representations

Affiliations des auteurs :

Robin Witthaus ¹

¹ Universität Duisburg-Essen Fakultät für Mathematik Thea-Leymann-Str. 9 45127 Essen Deutschland

Licence :

CC-BY-ND 4.0

Droits d'auteur : Les auteurs conservent leurs droits

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Robin Witthaus. A mod-$p$ metaplectic Montréal functor. Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 37 (2025) no. 1, pp. 189-235. doi: 10.5802/jtnb.1319

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