Dans [5], nous avons examiné deux analogues, « multiplicatif » et « additif à la Carlitz–Drinfeld », des congruences basiques bien connues de Fermat et Wilson dans le cas de polynômes sur un corps fini. Lorsque l’on les considère modulo puissances supérieures des irréductibles, c’est-à-dire comme « supercongruences », on trouve des relations intéressantes entre elles ainsi que des liens avec les dérivées arithmétiques et les valeurs zêta. Dans le présent travail, nous développons plus systématiquement le premier analogue et son lien avec les dérivées arithmétiques, en donnant beaucoup plus de conditions équivalentes reliant les deux, en utilisant aussi les « dérivées mixtes ». En outre, nous trouvons et démontrons des factorisations remarquables en produit d’irréductibles faisant intervenir des conditions sur les dérivées de certaines quantités fondamentales de l’arithmétique des corps de fonctions.
In [5], we looked at two (“multiplicative” and “Carlitz–Drinfeld additive”) analogs each, for the well-known basic congruences of Fermat and Wilson, in the case of polynomials over finite fields. When we look at them modulo higher powers of primes, i.e. at “supercongruences”, we find interesting relations linking them together, as well as linking them with arithmetic derivatives and zeta values. In the current work, we expand on the first analog and connections with arithmetic derivatives more systematically, giving many more equivalent conditions linking the two, now using “mixed derivatives” also. We also observe and prove remarkable prime factorizations involving derivative conditions for some fundamental quantities of the function field arithmetic.
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Mots clés : Wilson prime, Wieferich prime, exponential, Carlitz module
CC-BY-ND 4.0
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Dinesh S. Thakur. Fermat–Wilson Supercongruences, Arithmetic Derivatives and Strange Factorizations. Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 36 (2024) no. 2, pp. 481-491. doi : 10.5802/jtnb.1285. https://jtnb.centre-mersenne.org/articles/10.5802/jtnb.1285/
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