Tamagawa Products for Elliptic Curves Over Number Fields
Yunseo Choi1 ; Sean Li2 ; Apoorva Panidapu3 ; Casia Siegel4
1 84 Brattle Street Cambridge, MA, USA
2 182 Memorial Drive Cambridge, MA, USA
3 458 Lagunita Drive Stanford, CA, USA
4 200 D. W. Brooks Drive Athens, GA, USA
Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 36 (2024) no. 2, pp. 361-404.

In recent work, Griffin, Ono, and Tsai constructs an L-series to prove that the proportion of short Weierstrass elliptic curves over ℚ with trivial Tamagawa product is 0.5054⋯ and that the average Tamagawa product is 1.8183⋯. Following their work, we generalize their L-series over arbitrary number fields K to be

LTam(K,s):=∑m=1∞PTam(K,m)ms,

where PTam(K,m) is the proportion of short Weierstrass elliptic curves over K with Tamagawa product m. We then construct Markov chains to compute the exact values of PTam(K,m) for all number fields K and positive integers m. As a corollary, we also compute the average Tamagawa product LTam(K,-1). We then use these results to uniformly bound PTam(K,1) and LTam(K,-1) in terms of the degree of K. Finally, we show that there exist sequences of K for which PTam(K,1) tends to 0 and LTam(K,-1) to ∞, as well as sequences of K for which PTam(K,1) and LTam(K,-1) tend to 1.

Dans un article récent, Griffin, Ono et Tsai construisent une série L pour prouver que la proportion des courbes elliptiques de Weierstrass courtes sur ℚ dont le produit de Tamagawa est trivial est de 0,5054⋯ et que la valeur moyenne du produit de Tamagawa est de 1,8183⋯. Suite à leur travail, nous généralisons leur série L au cas où ℚ est remplacé par un corps de nombres quelconque K en posant

LTam(K,s):=∑m=1∞PTam(K,m)ms,

où PTam(K,m) est la proportion des courbes elliptiques de Weierstrass courtes sur K dont le produit de Tamagawa est égal à m. Nous construisons ensuite des chaînes de Markov pour calculer les valeurs exactes de PTam(K,m) pour tous les corps de nombres K et tous les entiers positifs m. Comme corollaire, nous calculons également le produit de Tamagawa moyen LTam(K,-1). Nous utilisons ensuite ces résultats pour borner uniformément PTam(K,1) et LTam(K,-1) en fonction du degré de K. Enfin, nous montrons qu’il existe des suites de corps K pour lesquelles PTam(K,1) et LTam(K,-1) tendent respectivement vers 0 et l’infini, ainsi que des suites de K pour lesquelles PTam(K,1) et LTam(K,-1) tendent vers 1.

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DOI : 10.5802/jtnb.1282
Classification : 11G05, 14H52
Mots-clés : Tamagawa numbers, elliptic curves, number fields

Yunseo Choi 1 ; Sean Li 2 ; Apoorva Panidapu 3 ; Casia Siegel 4

1 84 Brattle Street Cambridge, MA, USA
2 182 Memorial Drive Cambridge, MA, USA
3 458 Lagunita Drive Stanford, CA, USA
4 200 D. W. Brooks Drive Athens, GA, USA
Licence : CC-BY-ND 4.0
Droits d'auteur : Les auteurs conservent leurs droits 
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Yunseo Choi; Sean Li; Apoorva Panidapu; Casia Siegel. Tamagawa Products for Elliptic Curves Over Number Fields. Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 36 (2024) no. 2, pp. 361-404. doi : 10.5802/jtnb.1282. https://jtnb.centre-mersenne.org/articles/10.5802/jtnb.1282/

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Cité par Sources :