Tamagawa Products for Elliptic Curves Over Number Fields

Yunseo Choi; Sean Li; Apoorva Panidapu; Casia Siegel

doi:10.5802/jtnb.1282

Yunseo Choi ¹ ; Sean Li ² ; Apoorva Panidapu ³ ; Casia Siegel ⁴

¹ 84 Brattle Street Cambridge, MA, USA
² 182 Memorial Drive Cambridge, MA, USA
³ 458 Lagunita Drive Stanford, CA, USA
⁴ 200 D. W. Brooks Drive Athens, GA, USA

Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 36 (2024) no. 2, pp. 361-404.

Résumé
Abstract

Dans un article récent, Griffin, Ono et Tsai construisent une série $L$ pour prouver que la proportion des courbes elliptiques de Weierstrass courtes sur $ℚ$ dont le produit de Tamagawa est trivial est de $0, 5054 \dots$ et que la valeur moyenne du produit de Tamagawa est de $1, 8183 \dots$ . Suite à leur travail, nous généralisons leur série $L$ au cas où $ℚ$ est remplacé par un corps de nombres quelconque $K$ en posant

L_{Tam} (K, s) : = \sum_{m = 1}^{\infty} \frac{P_{Tam} (K, m)}{m^{s}},

où $P_{Tam} (K, m)$ est la proportion des courbes elliptiques de Weierstrass courtes sur $K$ dont le produit de Tamagawa est égal à $m$ . Nous construisons ensuite des chaînes de Markov pour calculer les valeurs exactes de $P_{Tam} (K, m)$ pour tous les corps de nombres $K$ et tous les entiers positifs $m$ . Comme corollaire, nous calculons également le produit de Tamagawa moyen $L_{Tam} (K, - 1)$ . Nous utilisons ensuite ces résultats pour borner uniformément $P_{Tam} (K, 1)$ et $L_{Tam} (K, - 1)$ en fonction du degré de $K$ . Enfin, nous montrons qu’il existe des suites de corps $K$ pour lesquelles $P_{Tam} (K, 1)$ et $L_{Tam} (K, - 1)$ tendent respectivement vers $0$ et l’infini, ainsi que des suites de $K$ pour lesquelles $P_{Tam} (K, 1)$ et $L_{Tam} (K, - 1)$ tendent vers $1$ .

In recent work, Griffin, Ono, and Tsai constructs an $L -$ series to prove that the proportion of short Weierstrass elliptic curves over $ℚ$ with trivial Tamagawa product is $0.5054 \dots$ and that the average Tamagawa product is $1.8183 \dots$ . Following their work, we generalize their $L$ -series over arbitrary number fields $K$ to be

L_{Tam} (K, s) : = \sum_{m = 1}^{\infty} \frac{P_{Tam} (K, m)}{m^{s}},

where $P_{Tam} (K, m)$ is the proportion of short Weierstrass elliptic curves over $K$ with Tamagawa product $m$ . We then construct Markov chains to compute the exact values of $P_{Tam} (K, m)$ for all number fields $K$ and positive integers $m$ . As a corollary, we also compute the average Tamagawa product $L_{Tam} (K, - 1)$ . We then use these results to uniformly bound $P_{Tam} (K, 1)$ and $L_{Tam} (K, - 1)$ in terms of the degree of $K$ . Finally, we show that there exist sequences of $K$ for which $P_{Tam} (K, 1)$ tends to $0$ and $L_{Tam} (K, - 1)$ to $\infty$ , as well as sequences of $K$ for which $P_{Tam} (K, 1)$ and $L_{Tam} (K, - 1)$ tend to $1$ .

Reçu le : 2021-09-26
Révisé le : 2024-04-03
Accepté le : 2024-06-26
Publié le : 2024-11-13

DOI : 10.5802/jtnb.1282

Classification : 11G05, 14H52
Mots clés : Tamagawa numbers, elliptic curves, number fields

Affiliations des auteurs :

Yunseo Choi ¹ ; Sean Li ² ; Apoorva Panidapu ³ ; Casia Siegel ⁴

¹ 84 Brattle Street Cambridge, MA, USA
² 182 Memorial Drive Cambridge, MA, USA
³ 458 Lagunita Drive Stanford, CA, USA
⁴ 200 D. W. Brooks Drive Athens, GA, USA

Licence :

CC-BY-ND 4.0

Droits d'auteur : Les auteurs conservent leurs droits

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Yunseo Choi; Sean Li; Apoorva Panidapu; Casia Siegel. Tamagawa Products for Elliptic Curves Over Number Fields. Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 36 (2024) no. 2, pp. 361-404. doi : 10.5802/jtnb.1282. https://jtnb.centre-mersenne.org/articles/10.5802/jtnb.1282/

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