On note respectivement et les spectres de Lagrange et de Markov. Il est connu que et que . Dans ce travail, on détecte de nouvelles lacunes dans et en utilisant les deux méthodes suivantes. Premièrement, on obtient de telles lacunes en décrivant une nouvelle partie de proche de 3,938 : cette région (avec trois autres candidats) a été trouvée en étudiant les images de récemment produites par V. Delecroix et les deux derniers auteurs à l’aide de l’algorithme expliqué dans l’un des appendices de cet article. En outre, on obtient les plus grands éléments connus de et on améliore la minoration de la dimension de Hausdorff de obtenue par les deux derniers auteurs avec M. Pollicott et P. Vytnova (heuristiquement, on obtient une nouvelle minoration de la dimension de par 0,593). Deuxièmement, on utilise une idée de renormalisation et un critère d’épaisseur (issu de la thèse de doctorat du troisième auteur) pour détecter une infinité de lacunes maximales de s’accumulant près de la lacune de Freiman précédant le célèbre rayon de Hall .
Let and denote the Lagrange and Markov spectra, respectively. It is known that and that . In this work, we exhibit new gaps of and using two methods. First, we derive such gaps by describing a new portion of near to 3.938: this region (together with three other candidates) was found by investigating the pictures of recently produced by V. Delecroix and the last two authors with the aid of an algorithm explained in one of the appendices to this paper. As a by-product, we also get the largest known elements of and we improve upon a lower bound on the Hausdorff dimension of obtained by the last two authors together with M. Pollicott and P. Vytnova (heuristically, we get a new lower bound of on the dimension of ). Secondly, we use a renormalisation idea and a thickness criterion (reminiscent from the third author’s PhD thesis) to detect infinitely many maximal gaps of accumulating to Freiman’s gap preceding the so-called Hall’s ray .
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Mots clés : Lagrange and Markov spectra, maximal gaps, Hausdorff dimension
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Luke Jeffreys; Carlos Matheus; Carlos Gustavo Moreira. New gaps on the Lagrange and Markov spectra. Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 36 (2024) no. 1, pp. 311-338. doi : 10.5802/jtnb.1280. https://jtnb.centre-mersenne.org/articles/10.5802/jtnb.1280/
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