Sur la fonction Delta de Hooley associée à des caractères

Alexandre Lartaux

doi:10.5802/jtnb.1274

Sur la fonction Delta de Hooley associée à des caractères

Alexandre Lartaux ¹

¹ Université de Paris, Sorbonne Université, CNRS, Institut de Mathématiques de Jussieu – Paris Rive Gauche, F-75013 Paris, France

Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 36 (2024) no. 1, pp. 75-126.

Résumé
Abstract

Soit $(f_{1}, f_{2})$ un couple de fonctions arithmétiques et

Δ_{3} (n, f_{1}, f_{2}) : = sup_{\begin{matrix} (u_{1}, u_{2}) \in ℝ^{2} \\ (v_{1}, v_{2}) \in {[0, 1]}^{2} \end{matrix}} |\sum_{\begin{matrix} d_{1} d_{2} ∣ n \\ e^{u_{i}} < d_{i} ⩽ e^{u_{i} + v_{i}} \end{matrix}} f_{1} (d_{1}) f_{2} (d_{2})| .

Dans cet article, nous fournissons une majoration du moment d’ordre $2$ de $Δ_{3} (n, χ_{1}, χ_{2})$ où $χ_{1}$ et $χ_{2}$ sont deux caractères de Dirichlet non principaux, en suivant les méthodes développées par La Bretèche et Tenenbaum dans [1]. Cette majoration est un résultat clé pour le comptage asymptotique du nombre d’idéaux de norme fixée, qui sera détaillé dans [4].

Let $(f_{1}, f_{2})$ a $2$ -tuple of arithmetic functions and

Δ_{3} (n, f_{1}, f_{2}) : = sup_{\begin{matrix} (u_{1}, u_{2}) \in ℝ^{2} \\ (v_{1}, v_{2}) \in {[0, 1]}^{2} \end{matrix}} |\sum_{\begin{matrix} d_{1} d_{2} ∣ n \\ e^{u_{i}} < d_{i} ⩽ e^{u_{i} + v_{i}} \end{matrix}} f_{1} (d_{1}) f_{2} (d_{2})| .

In this paper, we give an upper bound of the second moment of $Δ_{3} (n, χ_{1}, χ_{2})$ when $χ_{1}$ and $χ_{2}$ are two non principal Dirichlet characters, following methods developed by La Bretèche and Tenenbaum in [1]. This upper bound is a main step for the asymptotic counting of the number of ideals of norm fixed, which will be developped in [4].

Reçu le : 2022-02-20
Révisé le : 2023-08-03
Accepté le : 2023-10-27
Publié le : 2024-07-25

DOI : 10.5802/jtnb.1274

Classification : 11N37, 11L40, 11N56, 11D45
Mots clés : Hooley’s Delta-function, divisors, Dirichlet characters, Möbius function, moments of arithmetic functions, concentration functions, count of lattice points over algebraic varieties.

Affiliations des auteurs :

Alexandre Lartaux ¹

¹ Université de Paris, Sorbonne Université, CNRS, Institut de Mathématiques de Jussieu – Paris Rive Gauche, F-75013 Paris, France

Licence :

CC-BY-ND 4.0

Droits d'auteur : Les auteurs conservent leurs droits

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Alexandre Lartaux. Sur la fonction Delta de Hooley associée à des caractères. Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 36 (2024) no. 1, pp. 75-126. doi : 10.5802/jtnb.1274. https://jtnb.centre-mersenne.org/articles/10.5802/jtnb.1274/

Bibliographie
Cité par

[1] Régis de la Bretèche; Gérald Tenenbaum Oscillations localisées sur les diviseurs, J. Lond. Math. Soc., Volume 85 (2012) no. 3, pp. 669-693 | DOI | Zbl

[2] Richard R. Hall; Gérald Tenenbaum Divisors, Cambridge Tracts in Mathematics, 90, Cambridge University Press, 1988, xvi+167 pages | DOI | Zbl

[3] Christopher Hooley On a New Technique and Its Applications to the Theory of Numbers, Proc. Lond. Math. Soc., Volume 38 (1979), pp. 115-151 | DOI | Zbl

[4] Alexandre Lartaux Sur le nombre d’idéaux dont la norme est la valeur d’une forme binaire de degré $3$ , Q. J. Math., Volume 74 (2023) no. 2, pp. 471-510 | DOI | Zbl

[5] Peter Shiu A Brun–Titchmarsh theorem for multiplicative functions, J. Reine Angew. Math., Volume 313 (1980), pp. 161-170 | Zbl

[6] Gérald Tenenbaum Sur la concentration moyenne des diviseurs, Comment. Math. Helv., Volume 60 (1985), pp. 411-428 | DOI | Zbl

Cité par Sources :