Extensions of mod $p$ representations of division algebras

Andrew Keisling; Dylan Pentland

doi:10.5802/jtnb.1273

Extensions of mod

p

representations of division algebras

Andrew Keisling ¹ ; Dylan Pentland ²

¹ University of California, Berkeley, USA
² Harvard University, USA

Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 36 (2024) no. 1, pp. 45-74.

Résumé
Abstract

Soit $F$ un corps local sur $Q_{p}$ ou $F_{p} ((t))$ et soit $D$ une algèbre à division centrale simple sur $F$ de degré $d$ . Dans le cas $p$ -adique, on suppose que $p > d e + 1$ où $e$ est le degré de ramification sur $Q_{p}$ ; sinon on suppose seulement que $p$ et $d$ sont premiers entre eux. Pour le sous-groupe $I_{1} = 1 + ϖ_{D} 𝒪_{D}$ de $D^{\times}$ , on détermine la structure de $H^{1} (I_{1}, π)$ en tant que représentation de $D^{\times} / I_{1}$ pour une ${\bar{F}}_{p}$ -représentation lisse irréductible quelconque $π$ de $D^{\times}$ . Nous utilisons ceci pour calculer le groupe ${Ext}_{D^{\times}}^{1} (π, π^{'})$ pour des représentations lisses irréductibles quelconques $π$ et $π^{'}$ de $D^{\times}$ . Dans le cas $p$ -adique, via la dualité de Poincaré, nous pouvons calculer les groupes de cohomologie supérieurs et les extensions de degré maximal.

Let $F$ be a local field over $Q_{p}$ or $F_{p} ((t))$ , and let $D$ be a central simple division algebra over $F$ of degree $d$ . In the $p$ -adic case, we assume $p > d e + 1$ where $e$ is the ramification degree over $Q_{p}$ ; otherwise, we need only assume $p$ and $d$ are coprime. For the subgroup $I_{1} = 1 + ϖ_{D} 𝒪_{D}$ of $D^{\times}$ we determine the structure of $H^{1} (I_{1}, π)$ as a representation of $D^{\times} / I_{1}$ for an arbitrary smooth irreducible ${\bar{F}}_{p}$ -representation $π$ of $D^{\times}$ . We use this to compute the group ${Ext}_{D^{\times}}^{1} (π, π^{'})$ for arbitrary smooth irreducible representations $π$ and $π^{'}$ of $D^{\times}$ . In the $p$ -adic case, via Poincaré duality we can compute the top cohomology groups and compute the highest degree extensions.

Reçu le : 2021-10-26
Révisé le : 2023-07-09
Accepté le : 2023-09-16
Publié le : 2024-07-25

DOI : 10.5802/jtnb.1273

Classification : 22E50, 20J06
Mots clés : cohomology, representations, extensions, division algebras

Affiliations des auteurs :

Andrew Keisling ¹ ; Dylan Pentland ²

¹ University of California, Berkeley, USA
² Harvard University, USA

Licence :

CC-BY-ND 4.0

Droits d'auteur : Les auteurs conservent leurs droits

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Andrew Keisling; Dylan Pentland. Extensions of mod $p$ representations of division algebras. Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 36 (2024) no. 1, pp. 45-74. doi : 10.5802/jtnb.1273. https://jtnb.centre-mersenne.org/articles/10.5802/jtnb.1273/

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Cité par Sources :