A short note on higher Mordell integrals

Joshua Males

doi:10.5802/jtnb.1216

Joshua Males ¹

¹ Department of Mathematics and Computer Science Division of Mathematics University of Cologne Weyertal 86-90 50931 Cologne, Germany

Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 34 (2022) no. 2, pp. 563-573.

Résumé
Abstract

On sait que les formes modulaires fausses classiques et les formes modulaires quantiques sont intimement liées aux intégrales de Mordell grâce à la thèse de doctorat révolutionnaire de Zwegers. Plus récemment, certaines généralisations des formes modulaires fausses/quantiques, appelées formes de profondeur supérieure (« higher depth »), ont été étudiées de manière intensive. En gros, une forme modulaire fausse/quantique de profondeur $d$ est celle dont l’erreur de modularité se transforme comme une forme modulaire fausse/quantique de profondeur $d - 1$ . Dans cette courte note, nous utilisons des techniques de Bringmann, Kaszian et Milas pour montrer que les intégrales doubles d’Eichler d’une famille de formes modulaires quantiques de profondeur deux et de poids un, précédemment étudiées par l’auteur, peuvent être reliées à certaines intégrales de Mordell supérieures, ce qui signifie qu’elles peuvent être écrites comme une certaine intégrale double, à la Zwegers.

Classical mock modular and quantum modular forms are known to have an intimate relationship with Mordell integrals thanks to Zwegers groundbreaking Ph.D. thesis. More recently, generalisations of mock/quantum modular forms to so-called “higher depth” versions have been intensively studied. In essence, a mock/quantum modular form of depth $d$ is such that the error of modularity transforms as another mock/quantum modular form of depth $d - 1$ . In this short note we use techniques of Bringmann, Kaszian, and Milas to show that the double Eichler integrals of a family of depth two quantum modular forms of weight one previously studied by the author can be related to certain “higher” Mordell integrals, meaning it may be written as a certain double integral, à la Zwegers.

Reçu le : 2021-01-13
Révisé le : 2021-05-20
Accepté le : 2021-07-09
Publié le : 2022-10-24

DOI : 10.5802/jtnb.1216

Classification : 11F12
Mots clés : Quantum modular forms, higher Mordell integrals

Affiliations des auteurs :

Joshua Males ¹

¹ Department of Mathematics and Computer Science Division of Mathematics University of Cologne Weyertal 86-90 50931 Cologne, Germany

Licence :

CC-BY-ND 4.0

Droits d'auteur : Les auteurs conservent leurs droits

@article{JTNB_2022__34_2_563_0,
     author = {Joshua Males},
     title = {A short note on higher {Mordell} integrals},
     journal = {Journal de th\'eorie des nombres de Bordeaux},
     pages = {563--573},
     publisher = {Soci\'et\'e Arithm\'etique de Bordeaux},
     volume = {34},
     number = {2},
     year = {2022},
     doi = {10.5802/jtnb.1216},
     language = {en},
     url = {https://jtnb.centre-mersenne.org/articles/10.5802/jtnb.1216/}
}

TY  - JOUR
AU  - Joshua Males
TI  - A short note on higher Mordell integrals
JO  - Journal de théorie des nombres de Bordeaux
PY  - 2022
SP  - 563
EP  - 573
VL  - 34
IS  - 2
PB  - Société Arithmétique de Bordeaux
UR  - https://jtnb.centre-mersenne.org/articles/10.5802/jtnb.1216/
DO  - 10.5802/jtnb.1216
LA  - en
ID  - JTNB_2022__34_2_563_0
ER  -

%0 Journal Article
%A Joshua Males
%T A short note on higher Mordell integrals
%J Journal de théorie des nombres de Bordeaux
%D 2022
%P 563-573
%V 34
%N 2
%I Société Arithmétique de Bordeaux
%U https://jtnb.centre-mersenne.org/articles/10.5802/jtnb.1216/
%R 10.5802/jtnb.1216
%G en
%F JTNB_2022__34_2_563_0

Joshua Males. A short note on higher Mordell integrals. Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 34 (2022) no. 2, pp. 563-573. doi : 10.5802/jtnb.1216. https://jtnb.centre-mersenne.org/articles/10.5802/jtnb.1216/

Bibliographie
Cité par

[1] Sergei Alexandrov; Sibasish Banerjee; Jan Manschot; Boris Pioline Indefinite theta series and generalized error functions, Sel. Math., New Ser., Volume 24 (2018) no. 5, pp. 3927-3972 | DOI | MR | Zbl

[2] Kathrin Bringmann; Amanda Folsom; Robert C. Rhoades Unimodal sequences and “strange” functions: a family of quantum modular forms, Pac. J. Math., Volume 274 (2015) no. 1, pp. 1-25 | DOI | MR | Zbl

[3] Kathrin Bringmann; Jonas Kaszian; Antun Milas Higher depth quantum modular forms, multiple Eichler integrals, and ${𝔰𝔩}_{3}$ false theta functions, Res. Math. Sci., Volume 6 (2019) no. 2, 20, 41 pages | MR | Zbl

[4] Kathrin Bringmann; Jonas Kaszian; Antun Milas Vector-valued higher depth quantum modular forms and higher Mordell integrals, J. Math. Anal. Appl., Volume 480 (2019) no. 2, 123397, 22 pages | MR | Zbl

[5] Kathrin Bringmann; Larry Rolen Half-integral weight Eichler integrals and quantum modular forms, J. Number Theory, Volume 161 (2016), pp. 240-254 | DOI | MR | Zbl

[6] Jennifer Bryson; Ken Ono; Sarah Pitman; Robert C. Rhoades Unimodal sequences and quantum and mock modular forms, Proc. Natl. Acad. Sci. USA, Volume 109 (2012) no. 40, pp. 16063-16067 | DOI | MR

[7] Amanda Folsom; Caleb Ki; Yen Nhi Truong Vu; Bowen Yang “Strange” combinatorial quantum modular forms, J. Number Theory, Volume 170 (2017), pp. 315-346 | DOI | MR | Zbl

[8] Kazuhiro Hikami; Anatol N. Kirillov Torus knot and minimal model, Phys. Lett., B, Volume 575 (2003) no. 3, pp. 3-4 | MR | Zbl

[9] Kazuhiro Hikami; Jeremy Lovejoy Torus knots and quantum modular forms, Res. Math. Sci., Volume 2 (2015) no. 1, 2, 15 pages | MR | Zbl

[10] Leopold Kronecker Bemerkungen über die Darstellung von Reihen durch Integrale, J. Reine Angew. Math., Volume 105 (1889), pp. 157-159 | DOI | Zbl

[11] Leopold Kronecker Summirung der Gausschen Reihen, J. Reine Angew. Math., Volume 105 (1889), pp. 267-268 | DOI | MR

[12] Joshua Males A family of vector-valued quantum modular forms of depth two, Int. J. Number Theory, Volume 16 (2020) no. 1, pp. 29-64 | DOI | MR | Zbl

[13] Louis Mordell The value of the definite integral $\int_{- \infty}^{\infty} \frac{e^{a t^{2} + b t}}{e^{c} t + d} d t$ , Q. J. Math., Volume 68 (1920), pp. 329-342

[14] Louis Mordell The definite integral $\int_{- \infty}^{\infty} \frac{e^{a x^{2} + b x}}{e^{a} x + d} d a$ and the analytic theory of numbersand the analytic theory of numbers, Acta Math., Volume 61 (1933), pp. 323-360 | DOI

[15] Ken Ono et al. Unearthing the visions of a master: harmonic Maass forms and number theory, Current developments in mathematics, 2008, International Press, 2009, pp. 347-454 | Zbl

[16] Larry Rolen; Robert P. Schneider A “strange” vector-valued quantum modular form, Arch. Math., Volume 101 (2013) no. 1, pp. 43-52 | DOI | MR | Zbl

[17] Carl L. Siegel Über Riemanns Nachlass zur analytischen Zahlentheorie, Quell. Stud. Gesch. Math. B, Volume 2 (1932), pp. 45-80 | Zbl

[18] Don Zagier Vassiliev invariants and a strange identity related to the Dedekind eta-function, Topology, Volume 40 (2001) no. 5, pp. 945-960 | DOI | MR | Zbl

[19] Don Zagier Quantum modular forms, Quanta of maths (Clay Mathematics Proceedings), Volume 11, American Mathematical Society, 2010, pp. 659-675 | MR | Zbl

[20] Sander Zwegers Mock theta functions, Ph. D. Thesis, Universiteit Utrecht (The Netherland) (2002)

Cité par Sources :