Transformée de Fourier–Mukai sur les schémas formels
Florian Viguier1
1IRMA de Strasbourg, 7 rue René Descartes, 67000 Strasbourg, France
Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Volume 34 (2022) no. 2, pp. 419-447

En 1981, Mukai a construit la transformée de Fourier–Mukai pour des variétés abéliennes sur un corps algébriquement clos, qui donne une équivalence de catégories entre les faisceaux quasi-cohérents sur A et ceux sur A ∨ , sa variété duale. Laumon a généralisé ces résultats pour les variétés abéliennes sur une base localement noethérienne. Dans cet article, nous définissons une transformée de Fourier–Mukai dans le cas où A est un schéma abélien formel sur S=Spf(V), avec V un anneau à valuation discrète, et nous étendons les résultats classiques de la transformée de Fourier–Mukai dans ce cas. Nous traitons enfin le cas de la fibre générique A K de A afin d’obtenir une équivalence de catégories entre les faisceaux cohérents sur A K et ceux sur A K ∨ .

In 1981, Mukai constructed the Fourier–Mukai transform for abelian varieties over an algebraically closed field, which gives an equivalence of categories between quasi-coherent sheaves over A and the one over A ∨ , its dual variety. Laumon generalized these results for abelian varieties over a locally noetherian base. In this article, we define a Fourier–Mukai transform for an abelian formal scheme A/S=Spf(V), where V is a discrete valuation ring, and we extend the classical results of Fourier–Mukai transform to this case. Finally, we discuss the case of the generic fiber A K of A to obtain an equivalence of categories between coherent sheaves over A K and the ones over A K ∨ .

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DOI: 10.5802/jtnb.1208
Classification: 11N56, 14G42
Mots-clés : Transformée de Fourier–Mukai, Schémas formels, Variété abélienne, Variété analytique rigide

Florian Viguier  1

1 IRMA de Strasbourg, 7 rue René Descartes, 67000 Strasbourg, France
License: CC-BY-ND 4.0
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Florian Viguier. Transformée de Fourier–Mukai sur les schémas formels. Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Volume 34 (2022) no. 2, pp. 419-447. doi: 10.5802/jtnb.1208
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[1] Pierre Berthelot Cohomologie rigide et cohomologie rigide à supports propres I (1996) (online preprint : https://perso.univ-rennes1.fr/pierre.berthelot/publis)

[2] Pierre Berthelot Introduction à la théorie arithmétique des 𝒟-modules, Cohomologies p-adiques et applications arithmétiques (II) (Astérisque), Volume 279, Société Mathématique de France, 2002, pp. 1-80 | Numdam | Zbl

[3] Pierre Berthelot; Arthur Ogus Notes on crystalline cohomology, Mathematical Notes, 21, Princeton University Press, 1978

[4] Siegfried Bosch Lectures on Formal and Rigid Geometry, Lecture Notes in Mathematics, 2105, Springer, 2014

[5] Bas Edixhoven; Gerard van der Geer; Ben Moonen Abelian Varieties (online preprint : http://van-der-geer.nl/~gerard/AV.pdf)

[6] Gerd Faltings; Ching-Li Chai Degeneration of Abelian Varieties, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge., 22, Springer, 1990 | DOI | Zbl

[7] Barbara Fantechi; Lothar Göttsche; Luc Illusie; Steven L. Kleiman; Nitin Nitsure; Angelo Vistoli Fundamental Algebraic Geometry, Grothendieck’s FGA Explained, Mathematical Surveys and Monographs, 123, American Mathematical Society, 2005

[8] Alexander Grothendieck Éléments de géométrie algébrique : III. Étude cohomologique des faisceaux cohérents, Première partie, Publ. Math., Inst. Hautes Étud. Sci., Volume 11 (1961), pp. 349-511

[9] Robin Hartshorne Residues and Duality, Lecture Notes in Mathematics, 20, Springer, 1966 | DOI | Numdam

[10] Robin Hartshorne Algebraic Geometry, Graduate Texts in Mathematics, 52, Springer, 1977 | DOI

[11] Daniel Huybrechts Fourier-Mukai transforms in algebraic geometry, Oxford Mathematical Monographs, Oxford University Press, 2006 | DOI

[12] George R. Kempf Some elementary proofs of basic theorems in the cohomology of quasi-coherent sheaves, Rocky Mt. J. Math., Volume 10 (1980) no. 3, pp. 637-646 | Zbl

[13] Gerard Laumon Transformation de Fourier généralisée (1996) (https://arxiv.org/abs/alg-geom/9603004)

[14] Werner Lütkebohmert Rigid Geometry of Curves and Their Jacobians, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge., 61, Springer, 2016 | DOI

[15] Barry Mazur; William Messing Universal extensions and one dimensional crystalline cohomology, Lecture Notes in Mathematics, 370, Springer, 1974 | DOI

[16] Shigeru Mukai Duality between D(X) and D(X ^) with its application to Picard sheaves, Nagoya Math. J., Volume 81 (1981), pp. 153-175 | DOI | MR | Zbl

[17] David Mumford Abelian Varieties, Studies in Mathematics, 5, Tata Institute of Fundamental Research, 1985

[18] The Stacks Project Authors Stacks Project, 2022 (http://stacks.math.columbia.edu)

[19] John Tate Rigid Analytic Spaces, Invent. Math., Volume 12 (1971), pp. 257-289 | DOI | MR | Zbl

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