Points rationnels dans leur fibre :  compléments à un théorème de Poonen

Laurent Moret-Bailly

doi:10.5802/jtnb.1130

Points rationnels dans leur fibre : compléments à un théorème de Poonen

Laurent Moret-Bailly ¹

¹ Univ Rennes, CNRS, IRMAR - UMR 6625 35000 Rennes, France

Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Volume 32 (2020) no. 2, pp. 471-488.

Abstract
Résumé

Let $f : X \to S$ be a morphism of integral schemes, which is surjective and of finite presentation. When $S$ is of finite type over a field or over $ℤ$ , of positive dimension, Poonen has shown that there is a point $x \in X$ whose residue field $κ (x)$ is purely inseparable over $κ (f (x))$ . In this paper, we extend this result in several ways. First we prove that we can take $x$ such that $f (x)$ is a codimension $1$ point of $S$ ; if $S$ is smooth over a field $k$ , we can require $κ (f (x))$ to be separable over $k$ . In another direction, we prove that similar results hold for other schemes $S$ , such as noetherian integral schemes of dimension $\geq 2$ .

Soit $f : X \to S$ un morphisme surjectif et de présentation finie de schémas intègres. Lorsque $S$ est de type fini sur un corps ou sur $ℤ$ , et de dimension $> 0$ , Poonen a montré qu’il existe un point $x \in X$ dont le corps résiduel $κ (x)$ est une extension radicielle de $κ (f (x))$ . Dans ce travail, on prolonge ce résultat de plusieurs façons. D’abord, on peut choisir $x$ tel que $f (x)$ soit un point de codimension $1$ de $S$ ; si $S$ est lisse sur un corps $k$ , on peut exiger que $κ (f (x))$ soit séparable sur $k$ . Dans une autre direction, on montre des résultats analogues pour d’autres classes de schémas $S$ , par exemple les schémas noethériens intègres de dimension $\geq 2$ .

Received: 2019-11-28
Revised: 2020-03-12
Accepted: 2020-07-28
Published online: 2020-10-29

DOI: 10.5802/jtnb.1130

Classification: 14A15, 14D99
Keywords: Corps résiduel ; extension résiduelle ; morphisme de présentation finie

Author's affiliations:

Laurent Moret-Bailly ¹

¹ Univ Rennes, CNRS, IRMAR - UMR 6625 35000 Rennes, France

License:

CC-BY-ND 4.0

Copyrights: The authors retain unrestricted copyrights and publishing rights

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Laurent Moret-Bailly. Points rationnels dans leur fibre :  compléments à un théorème de Poonen. Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Volume 32 (2020) no. 2, pp. 471-488. doi : 10.5802/jtnb.1130. https://jtnb.centre-mersenne.org/articles/10.5802/jtnb.1130/

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