Points rationnels dans leur fibre :  compléments à un théorème de Poonen

Laurent Moret-Bailly

doi:10.5802/jtnb.1130

Points rationnels dans leur fibre : compléments à un théorème de Poonen

Laurent Moret-Bailly

Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux, Tome 32 (2020) no. 2, pp. 471-488.

Résumé
Abstract

Soit $f : X \to S$ un morphisme surjectif et de présentation finie de schémas intègres. Lorsque $S$ est de type fini sur un corps ou sur $ℤ$ , et de dimension $> 0$ , Poonen a montré qu’il existe un point $x \in X$ dont le corps résiduel $κ (x)$ est une extension radicielle de $κ (f (x))$ . Dans ce travail, on prolonge ce résultat de plusieurs façons. D’abord, on peut choisir $x$ tel que $f (x)$ soit un point de codimension $1$ de $S$ ; si $S$ est lisse sur un corps $k$ , on peut exiger que $κ (f (x))$ soit séparable sur $k$ . Dans une autre direction, on montre des résultats analogues pour d’autres classes de schémas $S$ , par exemple les schémas noethériens intègres de dimension $\geq 2$ .

Let $f : X \to S$ be a morphism of integral schemes, which is surjective and of finite presentation. When $S$ is of finite type over a field or over $ℤ$ , of positive dimension, Poonen has shown that there is a point $x \in X$ whose residue field $κ (x)$ is purely inseparable over $κ (f (x))$ . In this paper, we extend this result in several ways. First we prove that we can take $x$ such that $f (x)$ is a codimension $1$ point of $S$ ; if $S$ is smooth over a field $k$ , we can require $κ (f (x))$ to be separable over $k$ . In another direction, we prove that similar results hold for other schemes $S$ , such as noetherian integral schemes of dimension $\geq 2$ .

Reçu le : 2019-11-28
Révisé le : 2020-03-12
Accepté le : 2020-07-28
Publié le : 2020-10-29

DOI : https://doi.org/10.5802/jtnb.1130
Classification : 14A15, 14D99
Mots clés : Corps résiduel ; extension résiduelle ; morphisme de présentation finie

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     author = {Laurent Moret-Bailly},
     title = {Points rationnels dans leur fibre~:  compl\'ements \`a un th\'eor\`eme de {Poonen}},
     journal = {Journal de Th\'eorie des Nombres de Bordeaux},
     pages = {471--488},
     publisher = {Soci\'et\'e Arithm\'etique de Bordeaux},
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Laurent Moret-Bailly. Points rationnels dans leur fibre :  compléments à un théorème de Poonen. Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux, Tome 32 (2020) no. 2, pp. 471-488. doi : 10.5802/jtnb.1130. https://jtnb.centre-mersenne.org/articles/10.5802/jtnb.1130/

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