Points rationnels dans leur fibre :  compléments à un théorème de Poonen

Laurent Moret-Bailly

doi:10.5802/jtnb.1130

Points rationnels dans leur fibre : compléments à un théorème de Poonen

Laurent Moret-Bailly ¹

¹ Univ Rennes, CNRS, IRMAR - UMR 6625 35000 Rennes, France

Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Volume 32 (2020) no. 2, pp. 471-488.

Abstract
Résumé

Let $f : X \to S$ be a morphism of integral schemes, which is surjective and of finite presentation. When $S$ is of finite type over a field or over $ℤ$ , of positive dimension, Poonen has shown that there is a point $x \in X$ whose residue field $κ (x)$ is purely inseparable over $κ (f (x))$ . In this paper, we extend this result in several ways. First we prove that we can take $x$ such that $f (x)$ is a codimension $1$ point of $S$ ; if $S$ is smooth over a field $k$ , we can require $κ (f (x))$ to be separable over $k$ . In another direction, we prove that similar results hold for other schemes $S$ , such as noetherian integral schemes of dimension $\geq 2$ .

Soit $f : X \to S$ un morphisme surjectif et de présentation finie de schémas intègres. Lorsque $S$ est de type fini sur un corps ou sur $ℤ$ , et de dimension $> 0$ , Poonen a montré qu’il existe un point $x \in X$ dont le corps résiduel $κ (x)$ est une extension radicielle de $κ (f (x))$ . Dans ce travail, on prolonge ce résultat de plusieurs façons. D’abord, on peut choisir $x$ tel que $f (x)$ soit un point de codimension $1$ de $S$ ; si $S$ est lisse sur un corps $k$ , on peut exiger que $κ (f (x))$ soit séparable sur $k$ . Dans une autre direction, on montre des résultats analogues pour d’autres classes de schémas $S$ , par exemple les schémas noethériens intègres de dimension $\geq 2$ .

Received: 2019-11-28
Revised: 2020-03-12
Accepted: 2020-07-28
Published online: 2020-10-29

DOI: 10.5802/jtnb.1130

Classification: 14A15, 14D99
Keywords: Corps résiduel ; extension résiduelle ; morphisme de présentation finie

Author's affiliations:

Laurent Moret-Bailly ¹

¹ Univ Rennes, CNRS, IRMAR - UMR 6625 35000 Rennes, France

License:

CC-BY-ND 4.0

Copyrights: The authors retain unrestricted copyrights and publishing rights

@article{JTNB_2020__32_2_471_0,
     author = {Laurent Moret-Bailly},
     title = {Points rationnels dans leur fibre~:  compl\'ements \`a un th\'eor\`eme de {Poonen}},
     journal = {Journal de th\'eorie des nombres de Bordeaux},
     pages = {471--488},
     publisher = {Soci\'et\'e Arithm\'etique de Bordeaux},
     volume = {32},
     number = {2},
     year = {2020},
     doi = {10.5802/jtnb.1130},
     language = {fr},
     url = {https://jtnb.centre-mersenne.org/articles/10.5802/jtnb.1130/}
}

TY  - JOUR
AU  - Laurent Moret-Bailly
TI  - Points rationnels dans leur fibre :  compléments à un théorème de Poonen
JO  - Journal de théorie des nombres de Bordeaux
PY  - 2020
SP  - 471
EP  - 488
VL  - 32
IS  - 2
PB  - Société Arithmétique de Bordeaux
UR  - https://jtnb.centre-mersenne.org/articles/10.5802/jtnb.1130/
DO  - 10.5802/jtnb.1130
LA  - fr
ID  - JTNB_2020__32_2_471_0
ER  -

%0 Journal Article
%A Laurent Moret-Bailly
%T Points rationnels dans leur fibre :  compléments à un théorème de Poonen
%J Journal de théorie des nombres de Bordeaux
%D 2020
%P 471-488
%V 32
%N 2
%I Société Arithmétique de Bordeaux
%U https://jtnb.centre-mersenne.org/articles/10.5802/jtnb.1130/
%R 10.5802/jtnb.1130
%G fr
%F JTNB_2020__32_2_471_0

Laurent Moret-Bailly. Points rationnels dans leur fibre :  compléments à un théorème de Poonen. Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Volume 32 (2020) no. 2, pp. 471-488. doi : 10.5802/jtnb.1130. https://jtnb.centre-mersenne.org/articles/10.5802/jtnb.1130/

References
Cited by

[1] Nicolas Bourbaki Algèbre commutative, Springer, 2006 | Zbl

[2] Nicolas Bourbaki Algèbre, Springer, 2007 | Zbl

[3] Laurent Fargues; Jean-Marc Fontaine Courbes et fibrés vectoriels en théorie de Hodge $p$ -adique, Astérisque, 406, Société Mathématique de France, 2018 | Zbl

[4] Alexander Grothendieck Éléments de géométrie algébrique I, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 166, Springer, 1971 | Zbl

[5] Alexander Grothendieck; Jean Dieudonné Éléments de géométrie algébrique. IV. Parties 1–3, Publ. Math., Inst. Hautes Étud. Sci., Volume 20, 24, 28 (1964–1966)

[6] János Kollár Specialization of zero cycles, Publ. Res. Inst. Math. Sci., Volume 40 (2004) no. 3, pp. 689-708 | DOI | MR | Zbl

[7] Bjorn Poonen Points having the same residue field as their image under a morphism, J. Algebra, Volume 243 (2001) no. 1, pp. 224-227 | DOI | MR | Zbl

[8] Michel Raynaud Anneaux locaux henséliens, Lecture Notes in Mathematics, 169, Springer, 1970 | Zbl

[9] Bartel L. van der Waerden Modern Algebra, 1949, Ungar Publishing Co., 1949 | Zbl

Cited by Sources: