Extensions of local fields and elementary symmetric polynomials
Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux, Tome 30 (2018) no. 2, pp. 431-448.

Soit K un corps local de caractéristique résiduelle p et soit L/K une extension séparable finie totalement ramifiée de degré n. Soient σ 1 ,...,σ n les K-plongements de L dans une clôture séparable de K. Pour tout 1hn, soit e h (X 1 ,...,X n ) le polynôme symétrique élémentaire en n variables de degré h, et pour tout αL, soit E h (α)=E h (σ 1 (α),...,σ n (α)). Soit 𝒫 K l’idéal maximal de l’anneau des entiers de K et soit j=min{v p (h),v p (n)}. Nous montrons que E h (𝒫 L r )𝒫 K (i j +hr)/n pour tout r, où i j est l’indice d’inséparabilité d’ordre j de l’extension L/K. Dans certains cas, nous montrons également que E h (𝒫 L r ) n’est contenu dans aucune puissance supérieure de 𝒫 K .

Let K be a local field whose residue field has characteristic p and let L/K be a finite separable totally ramified extension of degree n. Let σ 1 ,...,σ n denote the K-embeddings of L into a separable closure of K. For 1hn let e h (X 1 ,...,X n ) denote the hth elementary symmetric polynomial in n variables, and for αL set E h (α)=e h (σ 1 (α),...,σ n (α)). Let 𝒫 K be the maximal ideal of the ring of integers of K and let j=min{v p (h),v p (n)}. We show that for r we have E h (𝒫 L r )𝒫 K (i j +hr)/n , where i j is the jth index of inseparability of L/K. In certain cases we also show that E h (𝒫 L r ) is not contained in any higher power of 𝒫 K .

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DOI : https://doi.org/10.5802/jtnb.1032
Classification : 11S15,  11S05
Mots clés : local fields, symmetric polynomials, norm, trace, indices of inseparability, digraphs
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TY  - JOUR
AU  - Kevin Keating
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JO  - Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux
PY  - 2018
DA  - 2018///
SP  - 431
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IS  - 2
PB  - Société Arithmétique de Bordeaux
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Kevin Keating. Extensions of local fields and elementary symmetric polynomials. Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux, Tome 30 (2018) no. 2, pp. 431-448. doi : 10.5802/jtnb.1032. https://jtnb.centre-mersenne.org/articles/10.5802/jtnb.1032/

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