Let be a local field whose residue field has characteristic and let be a finite separable totally ramified extension of degree . Let denote the -embeddings of into a separable closure of . For let denote the th elementary symmetric polynomial in variables, and for set . Let be the maximal ideal of the ring of integers of and let . We show that for we have , where is the th index of inseparability of . In certain cases we also show that is not contained in any higher power of .
Soit un corps local de caractéristique résiduelle et soit une extension séparable finie totalement ramifiée de degré . Soient les -plongements de dans une clôture séparable de . Pour tout , soit le polynôme symétrique élémentaire en variables de degré , et pour tout , soit . Soit l’idéal maximal de l’anneau des entiers de et soit . Nous montrons que pour tout , où est l’indice d’inséparabilité d’ordre de l’extension . Dans certains cas, nous montrons également que n’est contenu dans aucune puissance supérieure de .
Revised:
Accepted:
Published online:
DOI: 10.5802/jtnb.1032
Mots-clés : local fields, symmetric polynomials, norm, trace, indices of inseparability, digraphs
Kevin Keating 1

@article{JTNB_2018__30_2_431_0, author = {Kevin Keating}, title = {Extensions of local fields and elementary symmetric polynomials}, journal = {Journal de th\'eorie des nombres de Bordeaux}, pages = {431--448}, publisher = {Soci\'et\'e Arithm\'etique de Bordeaux}, volume = {30}, number = {2}, year = {2018}, doi = {10.5802/jtnb.1032}, zbl = {1444.11234}, mrnumber = {3891320}, language = {en}, url = {https://jtnb.centre-mersenne.org/articles/10.5802/jtnb.1032/} }
TY - JOUR AU - Kevin Keating TI - Extensions of local fields and elementary symmetric polynomials JO - Journal de théorie des nombres de Bordeaux PY - 2018 SP - 431 EP - 448 VL - 30 IS - 2 PB - Société Arithmétique de Bordeaux UR - https://jtnb.centre-mersenne.org/articles/10.5802/jtnb.1032/ DO - 10.5802/jtnb.1032 LA - en ID - JTNB_2018__30_2_431_0 ER -
%0 Journal Article %A Kevin Keating %T Extensions of local fields and elementary symmetric polynomials %J Journal de théorie des nombres de Bordeaux %D 2018 %P 431-448 %V 30 %N 2 %I Société Arithmétique de Bordeaux %U https://jtnb.centre-mersenne.org/articles/10.5802/jtnb.1032/ %R 10.5802/jtnb.1032 %G en %F JTNB_2018__30_2_431_0
Kevin Keating. Extensions of local fields and elementary symmetric polynomials. Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Volume 30 (2018) no. 2, pp. 431-448. doi : 10.5802/jtnb.1032. https://jtnb.centre-mersenne.org/articles/10.5802/jtnb.1032/
[1] Local fields and their extensions, Translations of Mathematical Monographs, 121, American Mathematical Society, 2002, xi+345 pages | MR | Zbl
[2] Arithmetical properties of function fields II. The generalized Schur problem, Acta Arith., Volume 25 (1974), pp. 225-258 | DOI | MR | Zbl
[3] Configuration spaces for wildly ramified covers, Arithmetic fundamental groups and noncommutative algebra (Proceedings of Symposia in Pure Mathematics), Volume 70, American Mathematical Society, 2002, pp. 353-376 | DOI | MR | Zbl
[4] De nouveaux invariants numériques pour les extensions totalement ramifiées de corps locaux, J. Number Theory, Volume 59 (1996) no. 1, pp. 159-202 | DOI | MR | Zbl
[5] Indices of inseparability in towers of field extensions, J. Number Theory, Volume 150 (2015), pp. 81-97 | DOI | MR | Zbl
[6] Nombre des extensions d’un degré donné d’un corps -adique: suite de la démonstration, C. R. Acad. Sci., Paris, Volume 255 (1962), pp. 224-226 | MR | Zbl
[7] Lyndon words and transition matrices between elementary, homogeneous and monomial symmetric functions, Electron. J. Comb., Volume 13 (2006) no. 1, R18, 30 pages (Article ID R18, 30 p.) | MR | Zbl
[8] Corps Locaux, Publications de l’Institut de Mathématique de l’Université de Nancago, 8, Hermann, 1962, 243 pages | Zbl
[9] Enumerative combinatorics. Volume 2, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 62, Cambridge University Press, 1999, xii+581 pages | Zbl
Cited by Sources: