On Tate’s conjecture for the elliptic modular surface of level N over a prime field of characteristic 1modN
Rémi Lodh1
1 Springer 4 Crinan St. London N1 9XW, UK
Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 32 (2020) no. 1, pp. 193-204.

Assuming partial semisimplicity of Frobenius, we show Tate’s conjecture for the reduction of the elliptic modular surface E(N) of level N at a prime p satisfying p≡1modN and show that the Mordell–Weil rank is zero in this case. This extends a result of Shioda to N>4. Furthermore, we show that for every number field L partial semisimplicity holds for the reductions of E(N)L at a set of places of density 1.

Modulo une hypothèse de semi-simplicité partielle, on démontre le conjecture de Tate pour la surface elliptique modulaire E(N) de niveau N sur un corps premier de cardinalité p≡1modN et on montre que le rang du groupe de Mordell–Weil est nul dans ce cas. Pour N≤4 c’est un résultat de Shioda. De plus, on démontre que l’hypothèse de semi-simplicité vaut en dehors d’un ensemble de nombres premiers p de densité nulle.

Reçu le :
Accepté le :
Publié le :
DOI : 10.5802/jtnb.1117
Classification : 11G05, 11F11, 14F30
Keywords: elliptic curves, modular forms, p-adic cohomology, zeta function

Rémi Lodh 1

1 Springer 4 Crinan St. London N1 9XW, UK
Licence : CC-BY-ND 4.0
Droits d'auteur : Les auteurs conservent leurs droits 
@article{JTNB_2020__32_1_193_0,
     author = {R\'emi Lodh},
     title = {On {Tate{\textquoteright}s} conjecture for the elliptic modular surface of level $N$ over a prime field of characteristic $1\ \protect \mathrm{mod}\ N$},
     journal = {Journal de th\'eorie des nombres de Bordeaux},
     pages = {193--204},
     publisher = {Soci\'et\'e Arithm\'etique de Bordeaux},
     volume = {32},
     number = {1},
     year = {2020},
     doi = {10.5802/jtnb.1117},
     language = {en},
     url = {https://jtnb.centre-mersenne.org/articles/10.5802/jtnb.1117/}
}
TY  - JOUR
AU  - Rémi Lodh
TI  - On Tate’s conjecture for the elliptic modular surface of level $N$ over a prime field of characteristic $1\ \protect \mathrm{mod}\ N$
JO  - Journal de théorie des nombres de Bordeaux
PY  - 2020
SP  - 193
EP  - 204
VL  - 32
IS  - 1
PB  - Société Arithmétique de Bordeaux
UR  - https://jtnb.centre-mersenne.org/articles/10.5802/jtnb.1117/
DO  - 10.5802/jtnb.1117
LA  - en
ID  - JTNB_2020__32_1_193_0
ER  - 
%0 Journal Article
%A Rémi Lodh
%T On Tate’s conjecture for the elliptic modular surface of level $N$ over a prime field of characteristic $1\ \protect \mathrm{mod}\ N$
%J Journal de théorie des nombres de Bordeaux
%D 2020
%P 193-204
%V 32
%N 1
%I Société Arithmétique de Bordeaux
%U https://jtnb.centre-mersenne.org/articles/10.5802/jtnb.1117/
%R 10.5802/jtnb.1117
%G en
%F JTNB_2020__32_1_193_0
Rémi Lodh. On Tate’s conjecture for the elliptic modular surface of level $N$ over a prime field of characteristic $1\ \protect \mathrm{mod}\ N$. Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 32 (2020) no. 1, pp. 193-204. doi : 10.5802/jtnb.1117. https://jtnb.centre-mersenne.org/articles/10.5802/jtnb.1117/

[1] Pierre Berthelot Dualité de Poincaré et formule de Künneth en cohomologie rigide, C. R. Math. Acad. Sci. Paris, Volume 325 (1997) no. 5, pp. 493-498 | DOI | MR | Zbl

[2] Pierre Berthelot Finitude et pureté cohomologique en cohomologie rigide (avec un appendice par Aise Johan de Jong), Invent. Math., Volume 128 (1997), pp. 329-377 | DOI | Zbl

[3] Théorie des intersections et théorème de Riemann–Roch (SGA 6) (Pierre Berthelot; Alexander Grothendieck; Luc Illusie, eds.), Lecture Notes in Mathematics, 225, Springer, 1971 | Zbl

[4] Pierre Colmez; Jean-Marc Fontaine Construction des représentations p-adiques semi-stables, Invent. Math., Volume 140 (2000), pp. 1-43 | DOI | Zbl

[5] Pierre Deligne Formes modulaires et représentations l-adiques, Séminaire Bourbaki 1968/69 (Lecture Notes in Mathematics), Volume 179 (1971) | DOI | Zbl

[6] Pierre Deligne; Michael Rapoport Les schémas de modules de courbes elliptiques, Modular functions of one variable II (Lecture Notes in Mathematics), Volume 349 (1973) | DOI | Zbl

[7] Gerd Faltings Hodge–Tate structures and modular forms, Math. Ann., Volume 278 (1987), pp. 133-149 | DOI | MR | Zbl

[8] Jean-Marc Fontaine Le corps des périodes p-adiques, Périodes p-adiques (Astérisque), Volume 223, Société Mathématique de France, 1994, pp. 59-111 | Numdam | Zbl

[9] Jean-Marc Fontaine Représentations p-adiques semi-stables, Périodes p-adiques (Astérisque), Volume 223, Société Mathématique de France, 1994, pp. 113-184 | Numdam | Zbl

[10] Alexandre Grothendieck Le groupe de Brauer, Dix exposés sur la cohomologie des schémas (Advanced Studies in Pure Mathematics (Amsterdam)), Volume 3 (1968) | Zbl

[11] Luc Illusie Complexe de de Rham–Witt et cohomologie cristalline, Ann. Sci. Éc. Norm. Supér., Volume 12 (1979), pp. 501-661 | DOI | Numdam | MR | Zbl

[12] Steven L Kleiman The Picard scheme, Fundamental Algebraic Geometry (Mathematical Surveys and Monographs), Volume 123 (2005) | MR

[13] Serge Lang Introduction to Modular Forms (With two appendices, by D. B. Zagier and by W. Feit), Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 222, Springer, 1976 | Zbl

[14] Carlo Mazza; Vladimir Voevodsky; Charles Weibel Lecture Notes on Motivic Cohomology, Clay Mathematics Monographs, 2, American Mathematical Society, 2006 | MR | Zbl

[15] James S. Milne On a conjecture of Artin and Tate, Ann. Math., Volume 102 (1975), pp. 517-533 | DOI | MR | Zbl

[16] Kenneth A. Ribet Galois representations attached to eigenforms with Nebentypus, Modular functions of one variable V (Lecture Notes in Mathematics), Volume 601 (1977) | DOI | MR | Zbl

[17] Anthony J. Scholl Motives for modular forms, Invent. Math., Volume 100 (1990) no. 2, pp. 419-430 | DOI | MR | Zbl

[18] Matthias Schütt; Tetsuji Shioda Elliptic Surfaces, Algebraic geometry in East Asia – Seoul 2008 (Advanced Studies in Pure Mathematics), Volume 60, Mathematical Society of Japan, 2010, pp. 51-160 | DOI | MR | Zbl

[19] Jean-Pierre Serre Quelques applications du théorème de densité de Chebotarev, Publ. Math., Inst. Hautes Étud. Sci., Volume 54 (1981), pp. 123-201 | DOI | Numdam | Zbl

[20] Tetsuji Shioda On elliptic modular surfaces, J. Math. Soc. Japan, Volume 24 (1972), pp. 20-59 | DOI | MR | Zbl

[21] Tetsuji Shioda Algebraic cycles on certain K3 surfaces in characteristic p, Manifolds–Tokyo 1973 (Proc. Internat. Conf., Tokyo, 1973) (1975), pp. 357-364 | Zbl

Cité par Sources :