The distribution of sums and products of additive functions
Greg Martin1 ; Lee Troupe2
1 Department of Mathematics University of British Columbia Room 121, 1984 Mathematics Road Vancouver, BC V6T 1Z2, Canada
2 Department of Mathematics Mercer University 1501 Mercer University Drive Macon, GA 31207, USA
Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 32 (2020) no. 1, pp. 103-131.

The celebrated Erdős–Kac theorem says, roughly speaking, that the values of additive functions satisfying certain mild hypotheses are normally distributed. In the intervening years, similar normal distribution laws have been shown to hold for certain non-additive functions and for amenable arithmetic functions over certain subsets of the natural numbers. Continuing in this vein, we show that if g1(n),...,gk(n) is a collection of functions satisfying certain mild hypotheses for which an Erdős–Kac-type normal distribution law holds, and if Q(x1,...,xk) is a polynomial with nonnegative real coefficients, then Q(g1(n),...,gk(n)) also obeys a normal distribution law. We also show that a similar result can be obtained if the set of inputs n is restricted to certain subsets of the natural numbers, such as shifted primes. Our proof uses the method of moments. We conclude by providing examples of our theorem in action.

Le célèbre théorème d’Erdős–Kac dit, en substance, que les valeurs d’une fonction additive satisfaisant certaines hypothèses faibles, sont normalement distribuées. Au cours des dernières décennies, il a été démontré que des lois similaires de distribution normale s’appliquent à certaines fonctions non additives et à des fonctions arithmétiques adaptées à certains sous-ensembles de l’ensemble des nombres naturels. En poursuivant dans cette veine, nous montrons que si g1(n),...,gk(n) est un ensemble de fonctions satisfaisant certaines hypothèses légères pour lesquelles une loi de distribution normale de type Erdős–Kac est valide, et si Q(x1,...,xk) est un polynôme à coefficients non négatifs, alors Q(g1(n),...,gk(n)) obéit également à une loi de distribution normale. Nous montrons également qu’un résultat similaire peut être obtenu si l’ensemble des entrées n est limité à certains sous-ensembles de nombres naturels, tels que les nombres premiers décalés. Notre preuve utilise la méthode des moments. Nous concluons en illustrant notre théorème sur quelques exemples.

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DOI : 10.5802/jtnb.1113
Classification : 11N60, 11N37
Keywords: loi de distribution, fonction additive, méthode des moments

Greg Martin 1 ; Lee Troupe 2

1 Department of Mathematics University of British Columbia Room 121, 1984 Mathematics Road Vancouver, BC V6T 1Z2, Canada
2 Department of Mathematics Mercer University 1501 Mercer University Drive Macon, GA 31207, USA
Licence : CC-BY-ND 4.0
Droits d'auteur : Les auteurs conservent leurs droits 
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Greg Martin; Lee Troupe. The distribution of sums and products of  additive functions. Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 32 (2020) no. 1, pp. 103-131. doi : 10.5802/jtnb.1113. https://jtnb.centre-mersenne.org/articles/10.5802/jtnb.1113/

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