On the flat cohomology of binary norm forms

Rony A. Bitan; Michael M. Schein

doi:10.5802/jtnb.1093

Rony A. Bitan ¹ ; Michael M. Schein ²

¹ Afeka, Tel Aviv Academic College of Engineering Tel Aviv 6910717, Israel
² Department of Mathematics Bar-Ilan University Ramat Gan 5290002, Israel

Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 31 (2019) no. 3, pp. 527-553.

Résumé
Abstract

Soit $𝒪$ un ordre d’indice $m$ dans l’ordre maximal d’un corps de nombres quadratique $k = ℚ (\sqrt{d})$ . Soit ${\underset{̲}{O}}_{d, m}$ le $ℤ$ -groupe orthogonal de la forme norme associée $q_{d, m}$ . Nous décrivons la structure de l’ensemble pointé $H_{fl}^{1} (ℤ, {\underset{̲}{O}}_{d, m})$ , qui classifie les formes quadratiques isomorphes à $q_{d, m}$ pour la topologie plate. Gauss a classifié les formes quadratiques de discriminant fondamental et montré que la composée d’une $ℤ$ -forme de discriminant $Δ_{k}$ avec elle-même est dans le genre principal. En utilisant le langage cohomologique, nous étendons ces résultats aux formes de certains discriminants non fondamentaux.

Let $𝒪$ be an order of index $m$ in the maximal order of a quadratic number field $k = ℚ (\sqrt{d})$ . Let ${\underset{̲}{O}}_{d, m}$ be the orthogonal $ℤ$ -group of the associated norm form $q_{d, m}$ . We describe the structure of the pointed set $H_{fl}^{1} (ℤ, {\underset{̲}{O}}_{d, m})$ , which classifies quadratic forms isomorphic (properly or improperly) to $q_{d, m}$ in the flat topology. Gauss classified quadratic forms of fundamental discriminant and showed that the composition of any binary $ℤ$ -form of discriminant $Δ_{k}$ with itself belongs to the principal genus. Using cohomological language, we extend these results to forms of certain non-fundamental discriminants.

Reçu le : 2016-11-02
Révisé le : 2019-06-23
Accepté le : 2019-09-27
Publié le : 2020-05-06

MR Numdam Zbl

DOI : 10.5802/jtnb.1093

Classification : 11E41, 11E72, 11E12
Mots clés : flat cohomology, quadratic forms, quadratic orders

Affiliations des auteurs :

Rony A. Bitan ¹ ; Michael M. Schein ²

¹ Afeka, Tel Aviv Academic College of Engineering Tel Aviv 6910717, Israel
² Department of Mathematics Bar-Ilan University Ramat Gan 5290002, Israel

Licence :

CC-BY-ND 4.0

Droits d'auteur : Les auteurs conservent leurs droits

@article{JTNB_2019__31_3_527_0,
     author = {Rony A. Bitan and Michael M. Schein},
     title = {On the flat cohomology of binary norm forms},
     journal = {Journal de th\'eorie des nombres de Bordeaux},
     pages = {527--553},
     publisher = {Soci\'et\'e Arithm\'etique de Bordeaux},
     volume = {31},
     number = {3},
     year = {2019},
     doi = {10.5802/jtnb.1093},
     mrnumber = {4102613},
     zbl = {1445.11023},
     language = {en},
     url = {https://jtnb.centre-mersenne.org/articles/10.5802/jtnb.1093/}
}

TY  - JOUR
AU  - Rony A. Bitan
AU  - Michael M. Schein
TI  - On the flat cohomology of binary norm forms
JO  - Journal de théorie des nombres de Bordeaux
PY  - 2019
SP  - 527
EP  - 553
VL  - 31
IS  - 3
PB  - Société Arithmétique de Bordeaux
UR  - https://jtnb.centre-mersenne.org/articles/10.5802/jtnb.1093/
DO  - 10.5802/jtnb.1093
LA  - en
ID  - JTNB_2019__31_3_527_0
ER  -

%0 Journal Article
%A Rony A. Bitan
%A Michael M. Schein
%T On the flat cohomology of binary norm forms
%J Journal de théorie des nombres de Bordeaux
%D 2019
%P 527-553
%V 31
%N 3
%I Société Arithmétique de Bordeaux
%U https://jtnb.centre-mersenne.org/articles/10.5802/jtnb.1093/
%R 10.5802/jtnb.1093
%G en
%F JTNB_2019__31_3_527_0

Rony A. Bitan; Michael M. Schein. On the flat cohomology of binary norm forms. Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 31 (2019) no. 3, pp. 527-553. doi : 10.5802/jtnb.1093. https://jtnb.centre-mersenne.org/articles/10.5802/jtnb.1093/

Bibliographie
Cité par

[1] Sivaramakrishna Anantharaman Schémas en groupes, espaces homogènes et espaces algébriques sur une base de dimension $1$ , Bull. Soc. Math. Fr., Volume 33 (1973), pp. 5-79 | Numdam | MR | Zbl

[2] Théorie des Topos et Cohomologie Étale des Schémas (SGA 4), Lecture Notes in Mathematics (19721973) | Zbl

[3] Asher Auel; Raman Parimala; Venapally Suresh Quadric surface bundles over surfaces, Doc. Math., Volume Extra vol. (2015), pp. 31-70 | MR | Zbl

[4] Armand Borel Some finiteness properties of adele groups over number fields, Publ. Math., Inst. Hautes Étud. Sci., Volume 16 (1963), pp. 5-30 | DOI | Numdam | Zbl

[5] Siegfried Bosch; Werner Lütkebohmert; Michel Raynaud Néron Models, Springer, 1990 | Zbl

[6] Nicolas Bourbaki Éléments de mathématique, Algèbre commutative, Hermann, 1972 | Zbl

[7] Duncan A. Buell Binary Quadratic Forms, Classical Theory and Modern Computations, Springer, 1989 | Zbl

[8] Baptiste Calmès; Jean Fasel Groupes Classiques, Autour des schémas en groupes. Vol. II (Panoramas et Synthèses), Volume 46, Société Mathématique de France, 2015, pp. 1-133 | MR | Zbl

[9] J. W. S. Cassels Rational Quadratic Forms, London Mathematical Society Monographs, 13, Academic Press Inc., 1978 | MR | Zbl

[10] Vladimir Chernousov; Philippe Gille; Arturo Pianzola A classification of torsors over Laurent polynomial rings, Comment. Math. Helv., Volume 92 (2017) no. 1, pp. 37-55 | DOI | MR | Zbl

[11] Henri Cohen; Hendrik W. Lenstra Heuristics on class groups of number fields, Number theory (Noordwijkerhout 1983) (Lecture Notes in Mathematics), Volume 1068, Springer, 1983, pp. 33-62 | Zbl

[12] Brian Conrad Math 252. Properties of orthogonal groups lecture notes available at http://math.stanford.edu/~conrad/252Page/handouts/O(q).pdf

[13] Brian Conrad Reductive group schemes, Autour des schémas en groupes. Vol. I (Panoramas et Synthèses), Volume 42-43, Société Mathématique de France, 2014, pp. 93-444 | Zbl

[14] Brian Conrad Non-split reductive groups over $ℤ$ , Autour des schémas en groupes. Vol. II (Panoramas et Synthèses), Volume 46, Société Mathématique de France, 2015, pp. 193-253 | MR | Zbl

[15] David A. Cox Primes of the form $x^{2} + n y^{2}$ . Fermat, class field theory, and complex multiplication, Pure and Applied Mathematics, John Wiley & Sons, 2013 | Zbl

[16] Séminaire de géométrie algébrique du Bois Marie 1962–64. Schémas en groupes (SGA 3). Tome I: Propriétés générales des schémas en groupes (Michel Demazure; Alexander Grothendieck, eds.), Documents Mathématiques, 7, Société Mathématique de France, 2011 | Zbl

[17] Albrecht Fröhlich; Martin J. Taylor Algebraic Number Theory, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 27, Cambridge University Press, 1990 | Zbl

[18] Carl F. Gauss Disquisitiones Arithmeticae, 1801 | Zbl

[19] Philippe Gille Sur la classification des schémas en groupes semi-simples, Autour des schémas en groupes. Vol. III (Panoramas et Synthèses), Volume 47, Société Mathématique de France, 2015, pp. 39-110 | MR | Zbl

[20] Philippe Gille; Arturo Pianzola Isotriviality and étale cohomology of Laurent polynomial rings, J. Pure Appl. Algebra, Volume 212 (2008) no. 4, pp. 780-800 | DOI | Zbl

[21] Jean Giraud Cohomologie non abélienne, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 179, Springer, 1971 | Zbl

[22] Alexander Grothendieck Éléments de géométrie algébrique: I. Le langage des schémas, Publ. Math., Inst. Hautes Étud. Sci., Volume 4 (1960), pp. 5-228 | DOI | Numdam | Zbl

[23] Alexander Grothendieck Éléments de géométrie algébrique : IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Seconde partie, Publ. Math., Inst. Hautes Étud. Sci., Volume 24 (1965), pp. 5-231 (rédigés avec la collaboration de J. Dieudonné) | Zbl

[24] Michiel Hazewinkel Local class field theory is easy, Adv. Math., Volume 18 (1975), pp. 148-181 | DOI | MR | Zbl

[25] Jürgen Klüners; Sebastian Pauli Computing residue class rings and Picard groups of orders, J. Algebra, Volume 292 (2005) no. 1, pp. 47-64 | DOI | MR | Zbl

[26] Max-Albert Knus Quadratic and Hermitian Forms over Rings, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 294, Springer, 1991 | MR | Zbl

[27] Hideyuki Matsumura Commutative Ring Theory, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 8, Cambridge University Press, 1989 | MR | Zbl

[28] Masanori Morishita On $S$ -class number relations of algebraic tori in Galois extensions of global fields, Nagoya Math. J., Volume 124 (1991), pp. 133-144 | DOI | MR | Zbl

[29] Yevsey Nisnevich Étale Cohomology and Arithmetic of Semisimple Groups, Ph. D. Thesis, Harvard University (USA) (1982) | Zbl

[30] Takashi Ono On some class number relations for Galois extensions, Nagoya Math. J., Volume 107 (1987), pp. 121-133 | MR | Zbl

[31] Alexei N. Skorobogatov Torsors and Rational Points, Cambridge Tracts in Mathematics, 144, Cambridge University Press, 2001 | MR | Zbl

[32] John Tate; Frans Oort Group schemes of prime order, Ann. Sci. Éc. Norm. Supér., Volume 3 (1970), pp. 1-21 | DOI | Numdam | MR | Zbl

[33] William C. Waterhouse Composition of norm-type forms, J. Reine Angew. Math., Volume 353 (1984), pp. 85-97 | MR | Zbl

Cité par Sources :