On the genera of semisimple groups defined over an integral domain of a global function field

Rony A. Bitan

doi:10.5802/jtnb.1064

Rony A. Bitan ^1,²

¹ Afeka, Tel-Aviv Academic College of Engineering Tel-Aviv, Israel
² Bar-Ilan University Ramat-Gan, Israel

Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 30 (2018) no. 3, pp. 1037-1057.

Abstract (VO)
Résumé

Let $K = 𝔽_{q} (C)$ be the global function field of rational functions over a smooth and projective curve $C$ defined over a finite field $𝔽_{q}$ . The ring of regular functions on $C - S$ where $S \neq \emptyset$ is any finite set of closed points on $C$ is a Dedekind domain $𝒪_{S}$ of $K$ . For a semisimple $𝒪_{S}$ -group $\underset{̲}{G}$ with a smooth fundamental group $\underset{̲}{F}$ , we aim to describe both the set of genera of $\underset{̲}{G}$ and its principal genus (the latter if $\underset{̲}{G} \otimes_{𝒪_{S}} K$ is isotropic at $S$ ) in terms of abelian groups depending on $𝒪_{S}$ and $\underset{̲}{F}$ only. This leads to a necessary and sufficient condition for the Hasse local-global principle to hold for certain $\underset{̲}{G}$ . We also use it to express the Tamagawa number $τ (G)$ of a semisimple $K$ -group $G$ by the Euler–Poincaré invariant. This facilitates the computation of $τ (G)$ for twisted $K$ -groups.

Soit $K = 𝔽_{q} (C)$ un corps de fonctions global, i.e. le corps des fonctions d’une courbe projective lisse $C$ définie sur un corps fini $𝔽_{q}$ . L’anneau des fonctions régulières sur $C - S$ , où $S \neq \emptyset$ est un ensemble fini de points fermés sur $C$ , est un domaine de Dedekind $𝒪_{S}$ de $K$ . Étant donné un $𝒪_{S}$ -groupe $\underset{̲}{G}$ semisimple dont le groupe fondamental $\underset{̲}{F}$ est lisse, on aimerait décrire l’ensemble des genres de $\underset{̲}{G}$ et encore (dans le cas où le groupe $\underset{̲}{G} \otimes_{𝒪_{S}} K$ est isotrope à $S$ ) son genre principal en termes des groupes abéliens ne dépendant que de $𝒪_{S}$ et de $\underset{̲}{F}$ . Ceci conduit à une condition nécessaire et suffisante pour que le principe local-global de Hasse soit valable pour certains groupes $\underset{̲}{G}$ . Nous l’utilisons aussi pour exprimer le nombre de Tamagawa $τ (G)$ d’un $K$ -groupe semisimple $\underset{̲}{G}$ par l’invariant d’Euler–Poincaré et faciliter le calcul de $τ (G)$ pour les $K$ -groupes tordus.

Reçu le : 2017-11-21
Révisé le : 2018-11-10
Accepté le : 2018-12-20
Publié le : 2019-03-28

MR Zbl

DOI : 10.5802/jtnb.1064

Classification : 11G20, 11G45, 11R29
Keywords: Class number, Hasse principle, Tamagawa number

Affiliations des auteurs :

Rony A. Bitan ^{1, 2}

¹ Afeka, Tel-Aviv Academic College of Engineering Tel-Aviv, Israel
² Bar-Ilan University Ramat-Gan, Israel

Licence :

CC-BY-ND 4.0

Droits d'auteur : Les auteurs conservent leurs droits

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Rony A. Bitan. On the genera of semisimple groups defined over an integral domain of a global function field. Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 30 (2018) no. 3, pp. 1037-1057. doi : 10.5802/jtnb.1064. https://jtnb.centre-mersenne.org/articles/10.5802/jtnb.1064/

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