Transcendence of the Hodge–Tate filtration

Sean Howe

doi:10.5802/jtnb.1044

Sean Howe ¹

¹ Stanford University Department of Mathematics Building 380 Stanford, California 94305, USA

Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 30 (2018) no. 2, pp. 671-680.

Résumé
Abstract

Soit $C$ une extension algébriquement close et complète de $ℚ_{p}$ . Nous démontrons qu’un groupe $p$ -divisible $G / 𝒪_{C}$ de dimension $1$ est défini sur un sous-corps $L \subset C$ complet pour une valuation discrète et contenant les ratios entre les périodes de Hodge–Tate si et seulement si $G$ est de type CM et si et seulement si les ratios entre les périodes engendrent une extension de $ℚ_{p}$ de degré égal à la hauteur de la composante connexe neutre de $G$ . C’est un analogue $p$ -adique du résultat classique de transcendance de Schneider qui dit que, pour $τ$ dans le demi-plan complexe supérieur, $τ$ et $j (τ)$ sont tous les deux algèbriques sur $ℚ$ si et seulement si $τ$ appartient à une extension quadratique de $ℚ$ . Nous discutons aussi brièvement d’une conjecture qui généralise ce résultat aux shtukas à une patte.

For $C$ a complete algebraically closed extension of $ℚ_{p}$ , we show that a one-dimensional $p$ -divisible group $G / 𝒪_{C}$ can be defined over a complete discretely valued subfield $L \subset C$ with Hodge–Tate period ratios contained in $L$ if and only if $G$ has CM, if and only if the period ratios generate an extension of $ℚ_{p}$ of degree equal to the height of the connected part of $G$ . This is a $p$ -adic analog of a classical transcendence result of Schneider which states that for $τ$ in the complex upper half plane, $τ$ and $j (τ)$ are simultaneously algebraic over $ℚ$ if and only if $τ$ is contained in a quadratic extension of $ℚ$ . We also briefly discuss a conjectural generalization to shtukas with one paw.

Reçu le : 2016-12-25
Révisé le : 2017-05-29
Accepté le : 2017-10-06
Publié le : 2018-12-06

MR Zbl

DOI : 10.5802/jtnb.1044

Classification : 14L05, 14G22
Mots clés : Hodge–Tate filtration, p-divisible groups, formal groups, $j$-invariant, transcendence, transcendentals, Lubin–Tate tower, Hodge–Tate period map, Gross–Hopkins period map

Affiliations des auteurs :

Sean Howe ¹

¹ Stanford University Department of Mathematics Building 380 Stanford, California 94305, USA

Licence :

CC-BY-ND 4.0

Droits d'auteur : Les auteurs conservent leurs droits

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Sean Howe. Transcendence of the Hodge–Tate filtration. Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 30 (2018) no. 2, pp. 671-680. doi : 10.5802/jtnb.1044. https://jtnb.centre-mersenne.org/articles/10.5802/jtnb.1044/

Bibliographie
Cité par

[1] Paula Beazley Cohen Humbert surfaces and transcendence properties of automorphic functions, Rocky Mt. J. Math., Volume 26 (1996) no. 3, pp. 987-1001 | MR | Zbl

[2] Laurent Fargues Groupes analytiques rigides $p$ -divisibles (to appear in Math. Ann.) | MR | Zbl

[3] Benedict H. Gross On canonical and quasicanonical liftings, Invent. Math., Volume 84 (1986), pp. 321-326 | DOI | MR | Zbl

[4] Michael J. Hopkins; Benedict H. Gross Equivariant vector bundles on the Lubin-Tate moduli space, Topology and representation theory (Evanston, 1992) (Contemporary Mathematics), Volume 158, American Mathematical Society, 1994, pp. 23-88 | DOI | MR | Zbl

[5] James Stuart Milne Algebraic Geometry (http://www.jmilne.org/math/CourseNotes/ag.html)

[6] Theodor Schneider Arithmetische Untersuchungen elliptischer Integrale, Math. Ann., Volume 113 (1937), pp. 1-13 | DOI | MR | Zbl

[7] Peter Scholze; Jared Weinstein Moduli of $p$ -divisible groups, Camb. J. Math., Volume 1 (2013) no. 2, pp. 145-237 | DOI | MR | Zbl

[8] Hironori Shiga; Jürgen Wolfart Criteria for complex multiplication and transcendence properties of automorphic functions, J. Reine Angew. Math., Volume 463 (1995), pp. 1-25 | MR | Zbl

[9] John Torrence Tate $p$ -divisible groups, Proceedings of a conference on local fields (Driebergen, 1966), Springer, 1967, pp. 158-183 | DOI | Zbl

[10] Jared Weinstein Peter Scholze’s lectures on $p$ -adic geometry (http://math.bu.edu/people/jsweinst/Math274/ScholzeLectures.pdf)

[11] Jared Weinstein Semistable models for modular curves of arbitrary level, Invent. Math., Volume 205 (2016) no. 2, pp. 459-526 | DOI | MR | Zbl

[12] Jiu-Kang Yu On the moduli of quasi-canonical liftings, Compos. Math., Volume 96 (1995) no. 3, pp. 293-321 | Numdam | MR | Zbl

Cité par Sources :