Certain codes related to generalized paperfolding sequences
Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux, Tome 27 (2015) no. 1, pp. 149-169.

Soit RBC le code binaire réfléchi, qui est aussi connu sous le nom de code de Gray, soit S RBC la somme des chiffres pour RBC, et soit {P b 0 (n)} n=1 la suite du pliage régulier de papier. Les auteurs ont montré que la différence première de la somme des chiffres pour RBC, {S RBC (n)-S RBC (n-1)} n=1 , coïncide avec {P b 0 (n)} n=1 . Pour toute suite infinie b={b k } k=0 , avec b k {-1,1}, on peut construire une suite infinie {P b (n)} n=1 , appelée suite de pliage de papier généralisée associée à b. Dans cet article, supposons que la suite b est periodique, nous proposons un nouveau code (de numération) 𝒞 b défini par b, et nous étudions les propriétés du code 𝒞 b dans le Théorème 1.2. Nous montrons que la différence première de la somme des chiffres pour 𝒞 b , {S 𝒞 b (n)-S 𝒞 b (n-1)} n=1 , coïncide avec la suite de pliage de papier généralisée {P b (n)} n=1 (Théorème 1.1). Puis nous donnons une formule exacte pour la moyenne de la somme des chiffres pour 𝒞 b dans le Théorème 1.3.

Let RBC be the reflected binary code, which is also called the Gray code, S RBC be the sum of digits function for RBC, and {P b 0 (n)} n=1 be the regular paperfolding sequence. In their previous work the authors proved that the difference function of the sum of digits function for RBC, {S RBC (n)-S RBC (n-1)} n=1 , coincides with {P b 0 (n)} n=1 . From an infinite sequence b={b k } k=0 with b k {-1,1}, one can construct an infinite sequence {P b (n)} n=1 which is called the generalized paperfolding sequence with respect to b. In this paper, when we assume b is periodic, we propose a new numeration code 𝒞 b , and study some properties of the code 𝒞 b in Theorem 1.2. We can prove that the difference function of the sum of digits function S 𝒞 b for 𝒞 b , {S 𝒞 b (n)-S 𝒞 b (n-1)} n=1 , coincides with the generalized paperfolding sequence {P b (n)} n=1 (Theorem 1.1). We also give an exact formula for the average of S 𝒞 b in Theorem 1.3.

Reçu le : 2012-08-16
Révisé le : 2013-02-23
Accepté le : 2013-03-18
Publié le : 2015-05-21
DOI : https://doi.org/10.5802/jtnb.896
Classification : 11B85,  11A25
Mots clés: Paperfolding sequence, Numeration system, Sum of digits function
@article{JTNB_2015__27_1_149_0,
     author = {Yuichi Kamiya and Leo Murata},
     title = {Certain codes related to generalized paperfolding sequences},
     journal = {Journal de Th\'eorie des Nombres de Bordeaux},
     publisher = {Soci\'et\'e Arithm\'etique de Bordeaux},
     volume = {27},
     number = {1},
     year = {2015},
     pages = {149-169},
     doi = {10.5802/jtnb.896},
     mrnumber = {3346967},
     language = {en},
     url = {jtnb.centre-mersenne.org/item/JTNB_2015__27_1_149_0/}
}
Yuichi Kamiya; Leo Murata. Certain codes related to generalized paperfolding sequences. Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux, Tome 27 (2015) no. 1, pp. 149-169. doi : 10.5802/jtnb.896. https://jtnb.centre-mersenne.org/item/JTNB_2015__27_1_149_0/

[1] J.-P. Allouche and J. Shallit, Automatic Sequences, Theory, Applications, Generalizations, Cambridge University Press, Cambridge, (2003). | MR 1997038 | Zbl 1086.11015

[2] H. Delange, Sur la fonction sommatoire de la fonction “somme des chiffres", L’Enseignement Math., 21, (1975), 31–47. | MR 379414 | Zbl 0306.10005

[3] Y. Kamiya and L. Murata, Relations among arithmetical functions, automatic sequences, and sum of digits functions induced by certain Gray codes, J. Théor. Nombres Bordx., 24, 2 (2012), 307–337. | Numdam | MR 2950694 | Zbl 1280.11017

[4] G. Tenenbaum, Sur la non-dérivabilité de fonctions périodiques associées à certaines formules sommatoires, in The Mathematics of Paul Erdős, R. L. Graham and J. Nešetřil eds., Springer Verlag, (1997), 117–128. | MR 1425180 | Zbl 0869.11019