On the structure of the Galois group of the Abelian closure of a number field

Georges Gras

doi:10.5802/jtnb.883

Georges Gras ¹

¹ Villa la Gardette Chemin Château Gagnière 38520 Le Bourg d’Oisans

Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 26 (2014) no. 3, pp. 635-654.

Abstract (VO)
Résumé

From a paper by A. Angelakis and P. Stevenhagen on the determination of a family of imaginary quadratic fields $K$ having isomorphic absolute Abelian Galois groups $A_{K}$ , we study any such issue for arbitrary number fields $K$ . We show that this kind of property is probably not easily generalizable, apart from imaginary quadratic fields, because of some $p$ -adic obstructions coming from the global units of $K$ . By restriction to the $p$ -Sylow subgroups of $A_{K}$ and assuming the Leopoldt conjecture we show that the corresponding study is related to a generalization of the classical notion of $p$ -rational field that we deepen, including numerical viewpoint for quadratic fields.

However we obtain (Theorems 2.1 and 3.1) non-trivial information about the structure of $A_{K}$ , for any number field $K$ , by application of results of our book on the $p$ -adic global class field theory.

A partir d’un article de A. Angelakis et P. Stevenhagen sur la détermination d’une famille de corps quadratiques imaginaires $K$ ayant des groupes de Galois Abéliens absolus $A_{K}$ isomorphes, nous étudions une telle question pour les corps de nombres $K$ quelconques. Nous montrons que ce type de propriété n’est probablement pas facilement généralisable, en dehors des corps quadratiques imaginaires, en raison d’obstructions $p$ -adiques provenant des unités globales de $K$ . En se restreignant aux $p$ -sous-groupes de Sylow de $A_{K}$ et en admettant la conjecture de Leopoldt nous montrons que l’étude correspondante est liée à une généralisation de la notion classique de corps $p$ -rationnel que nous approfondissons, y compris au point de vue numérique pour les corps quadratiques.

Cependant nous obtenons (Théorèmes 2.1 et 3.1) des informations non triviales sur la structure de $A_{K}$ , pour tout corps de nombres $K$ , par application de résultats de notre livre sur la théorie $p$ -adique du corps de classes global.

MR

DOI : 10.5802/jtnb.883

Classification : 11R37, 11R29, 20K35
Keywords: Class field theory; Abelian closures of number fields;

p

-ramification;

p

-rational fields; Abelian profinite groups; Group extensions

Affiliations des auteurs :

Georges Gras ¹

¹ Villa la Gardette Chemin Château Gagnière 38520 Le Bourg d’Oisans

@article{JTNB_2014__26_3_635_0,
     author = {Georges Gras},
     title = {On the structure of the {Galois} group of the {Abelian} closure of a number field},
     journal = {Journal de th\'eorie des nombres de Bordeaux},
     pages = {635--654},
     publisher = {Soci\'et\'e Arithm\'etique de Bordeaux},
     volume = {26},
     number = {3},
     year = {2014},
     doi = {10.5802/jtnb.883},
     mrnumber = {3320496},
     language = {en},
     url = {https://jtnb.centre-mersenne.org/articles/10.5802/jtnb.883/}
}

TY  - JOUR
AU  - Georges Gras
TI  - On the structure of the Galois group of the Abelian closure of a number field
JO  - Journal de théorie des nombres de Bordeaux
PY  - 2014
SP  - 635
EP  - 654
VL  - 26
IS  - 3
PB  - Société Arithmétique de Bordeaux
UR  - https://jtnb.centre-mersenne.org/articles/10.5802/jtnb.883/
DO  - 10.5802/jtnb.883
LA  - en
ID  - JTNB_2014__26_3_635_0
ER  -

%0 Journal Article
%A Georges Gras
%T On the structure of the Galois group of the Abelian closure of a number field
%J Journal de théorie des nombres de Bordeaux
%D 2014
%P 635-654
%V 26
%N 3
%I Société Arithmétique de Bordeaux
%U https://jtnb.centre-mersenne.org/articles/10.5802/jtnb.883/
%R 10.5802/jtnb.883
%G en
%F JTNB_2014__26_3_635_0

Georges Gras. On the structure of the Galois group of the Abelian closure of a number field. Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 26 (2014) no. 3, pp. 635-654. doi : 10.5802/jtnb.883. https://jtnb.centre-mersenne.org/articles/10.5802/jtnb.883/

Bibliographie
Cité par

[1] A. Angelakis and P. Stevenhagen, Absolute abelian Galois groups of imaginary quadratic fields, In: proceedings volume of ANTS-X, UC San Diego 2012, E. Howe and K. Kedlaya (eds), OBS 1 (2013).

[2] A. Charifi, Groupes de torsion attachés aux extensions Abéliennes $p$ -ramifiées maximales (cas des corps totalement réels et des corps quadratiques imaginaires), Thèse de $3^{e}$ cycle, Mathématiques, Université de Franche-Comté (1982), 50 pp.

[3] J. Coates, $p$ -adic $L$ -functions and Iwasawa’s theory, In: Proc. Durham Symposium 1975, New York-London (1977), 269–353. | MR | Zbl

[4] G. Gras et J-F. Jaulent, Sur les corps de nombres réguliers, Math. Z. 202, (1989), 3, 343–365. | MR | Zbl

[5] G. Gras, Class Field Theory: from theory to practice, SMM, Springer-Verlag 2003, second corrected printing (2005). | MR | Zbl

[6] G. Gras, Remarks on $K_{2}$ of number fields, Jour. Number Theory 23, (1986), 3, 322–335. | MR | Zbl

[7] G. Gras, Sur les $ℤ_{2}$ -extensions d’un corps quadratique imaginaire, Ann. Inst. Fourier, 33, (1983), 4, 1–18. | Numdam | MR | Zbl

[8] K. Hatada, Mod 1 distribution of Fermat and Fibonacci quotients and values of zeta functions at $2 - p$ , Comment. Math. Univ. St. Paul. 36, (1987), 1, 41–51. | MR | Zbl

[9] J-F. Jaulent, Théorie $ℓ$ -adique globale du corps de classes, J. Théorie des Nombres de Bordeaux 10, (1998), 2, 355–397. | Numdam | MR | Zbl

[10] J-F. Jaulent et T. Nguyen Quang Do, Corps $p$ -rationnels, corps $p$ -réguliers et ramification restreinte, J. Théorie des Nombres de Bordeaux 5, (1993), 2, 343–363. | Numdam | MR | Zbl

[11] H. Koch, (Parshin, A.N., Šafarevič, I.R., and Gamkrelidze, R.V., Eds.), Number theory II, Algebraic number theory, Encycl. of Math. Sci., vol. 62, Springer-Verlag 1992; second printing: Algebraic Number Theory, Springer-Verlag 1997. | MR | Zbl

[12] T. Kubota, Galois group of the maximal abelian extension of an algebraic number field, Nagoya Math. J. 12, (1957), 177–189. | MR | Zbl

[13] A. Movahhedi et T. Nguyen Quang Do, Sur l’arithmétique des corps de nombres $p$ -rationnels, Sém. Théorie des Nombres, Paris (1987/89), Progress in Math. 81, Birkhäuser (1990), 155–200. | MR | Zbl

[14] W. Narkiewicz, Elementary and analytic theory of algebraic numbers, P.W.N. 1974; second revised and extended edition: P.W.N. and Springer-Verlag 1990; third edition: Springer Monographs in Math., Springer-Verlag 2004. | MR | Zbl

[15] M. Onabe, On the isomorphisms of the Galois groups of the maximal Abelian extensions of imaginary quadratic fields, Natur. Sci. Rep. Ochanomizu Univ. 27, (1976), 2, 155–161. | MR | Zbl

[16] Pari/gp, Version 2.5.3, K. Belabas and al., Laboratoire A2X, Université de Bordeaux I.

[17] F. Pitoun and F. Varescon, Computing the torsion of the $p$ -ramified module of a number field, Math. Comp., published electronically (2014), 84, (2015), 371–383. | MR

[18] J-P. Serre, Sur le résidu de la fonction zêta $p$ -adique d’un corps de nombres, C.R. Acad. Sci. Paris 287, (1978), Série I, 183–188. | MR | Zbl

Cité par Sources :