Groupe de Brauer non ramifié d’espaces homogènes de tores

Jean-Louis Colliot-Thélène

doi:10.5802/jtnb.859

Jean-Louis Colliot-Thélène ¹

¹ C.N.R.S., Université Paris Sud Mathématiques, Bâtiment 425 91405 Orsay Cedex France

Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 26 (2014) no. 1, pp. 69-83.

Résumé (VO)
Abstract

Soient $k$ un corps et $X$ une $k$ -variété projective et lisse. Si $X$ est géométriquement rationnelle, on dispose d’une application injective du quotient de groupes de Brauer $Br (X) / Br (k)$ dans le premier groupe de cohomologie galoisienne du réseau défini par le groupe de Picard géométrique de $X$ . Dans cette note on donne des cas où cette application est toujours surjective. Pour les espaces homogènes de certains tores algébriques, on donne des générateurs explicites dans $Br (X)$ . On applique cela à l’étude du principe de Hasse pour les normes d’une extension biquadratique de corps de nombres.

Let $k$ be a field, $X$ a smooth, projective $k$ -variety. If $X$ is geometrically rational, there is an injective map from the quotient of Brauer groups $Br (X) / Br (k)$ into the first Galois cohomology group of the lattice given by the geometric Picard group. In this note, where the main attention is on smooth compactifications of homogeneous spaces of algebraic $k$ -tori, we show how under some hypotheses the map is onto, and how one may in some special cases exhibit concrete generators in $Br (X)$ . This is applied to the analysis of counterexamples to the local-global principle for norms in biquadratic extensions of number fields.

MR Zbl

DOI : 10.5802/jtnb.859

Affiliations des auteurs :

Jean-Louis Colliot-Thélène ¹

¹ C.N.R.S., Université Paris Sud Mathématiques, Bâtiment 425 91405 Orsay Cedex France

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Jean-Louis Colliot-Thélène. Groupe de Brauer non ramifié d’espaces homogènes de tores. Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 26 (2014) no. 1, pp. 69-83. doi : 10.5802/jtnb.859. https://jtnb.centre-mersenne.org/articles/10.5802/jtnb.859/

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