Permuting the partitions of a prime

Stéphane Vinatier

doi:10.5802/jtnb.682

Stéphane Vinatier

Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux, Tome 21 (2009) no. 2, pp. 455-465.

Résumé
Abstract

Étant donné un nombre premier $p$ impair, on caractérise les partitions $\underset{̲}{ℓ}$ de $p$ à $p$ parts positives ou nulles $ℓ_{0} \geq ℓ_{1} \geq ... \geq ℓ_{p - 1} \geq 0$ pour lesquelles il existe des permutations $σ, τ$ de l’ensemble ${0, ..., p - 1}$ telles que $p$ divise $\sum_{i = 0}^{p - 1} i ℓ_{σ (i)}$ mais ne divise pas $\sum_{i = 0}^{p - 1} i ℓ_{τ (i)}$ . Cela se produit si et seulement si le nombre maximal de parts égales de $\underset{̲}{ℓ}$ est strictement inférieur à $p - 2$ . Cette question est apparue en manipulant des sommes de puissances $p$ -ièmes de résolvantes, en lien avec un problème de structure galoisienne.

Given an odd prime number $p$ , we characterize the partitions $\underset{̲}{ℓ}$ of $p$ with $p$ non negative parts $ℓ_{0} \geq ℓ_{1} \geq ... \geq ℓ_{p - 1} \geq 0$ for which there exist permutations $σ, τ$ of the set ${0, ..., p - 1}$ such that $p$ divides $\sum_{i = 0}^{p - 1} i ℓ_{σ (i)}$ but does not divide $\sum_{i = 0}^{p - 1} i ℓ_{τ (i)}$ . This happens if and only if the maximal number of equal parts of $\underset{̲}{ℓ}$ is less than $p - 2$ . The question appeared when dealing with sums of $p$ -th powers of resolvents, in order to solve a Galois module structure problem.

Publié le : 2009-08-24

MR 2541437 | Zbl pre05620662

DOI : https://doi.org/10.5802/jtnb.682
Mots clés : Partitions of a prime; sums of resolvents; multinomials.

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Stéphane Vinatier. Permuting the partitions of a prime. Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux, Tome 21 (2009) no. 2, pp. 455-465. doi : 10.5802/jtnb.682. https://jtnb.centre-mersenne.org/item/JTNB_2009__21_2_455_0/

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