Kloosterman sums for prime powers in <i>P</i>-adic fields

Stanley J. Gurak

doi:10.5802/jtnb.665

Kloosterman sums for prime powers in P-adic fields

Stanley J. Gurak ¹

¹ University of San Diego Alcala Park San Diego, CA 92110, USA

Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 21 (2009) no. 1, pp. 175-201.

Abstract (VO)
Résumé

Let $K$ be a field of degree $n$ over $Q_{p}$ , the field of rational $p$ -adic numbers, say with residue degree $f$ , ramification index $e$ and differential exponent $d$ . Let $O$ be the ring of integers of $K$ and $P$ its unique prime ideal. The trace and norm maps for $K / Q_{p}$ are denoted $T r$ and $N$ , respectively. Fix $q = p^{r}$ , a power of a prime $p$ , and let $η$ be a numerical character defined modulo $q$ and of order $o (η)$ . The character $η$ extends to the ring of $p$ -adic integers $ℤ_{p}$ in the natural way; namely $η (u) = η (\tilde{u})$ , where $\tilde{u}$ denotes the residue class of $u$ modulo $q$ , and similarly for the root of unity $ζ_{q}^{u} = e x p (2 π i \tilde{u} / q)$ . Fix a positive integer $γ \geq r e - d$ for which $N (1 + P^{γ}) \subseteq 1 + q ℤ_{p}$ so that the (twisted) Kloosterman sums

R (η, z) = \sum_{α \in {(O / P^{γ})}^{*}} η (N α) ζ_{q}^{T r α + z / N α} (z \in Z / q Z^{*})

are well-defined.

Saliè explicitly determined $R (η, z)$ in the classical case $n = 1$ (so $K = Q_{p}$ ) for $q = p^{r}$ with $r > 1$ and $o (η) = 1$ or $2$ . Here I generalize Saliè’s result for the general case $n > 1$ for characters $η$ with $o (η) | p - 1$ (also $o (η) = 2$ when $p = 2$ ), and for all $γ \geq r e - d > 1$ but for a few small exceptional values $r$ . My evaluation relies on the author’s recent explicit determination of Gauss sums for prime powers in $p$ -adic fields and exponential sums of the form $\sum χ {(x)}^{a x} ζ_{q}^{b x}$ .

Soit $K$ un corps de degré $n$ sur $Q_{p}$ , le corps des nombres $p$ -adiques, de degré résiduel $f$ , indice de ramification $e$ et valuation de la différente $d$ . Soient $O$ l’anneau des entiers de $K$ et $P$ son unique idéal premier. Les applications trace et norme de $K / Q_{p}$ sont notées $T r$ et $N$ , respectivement. Fixons $q = p^{r}$ , une puissance du nombre premier $p$ , et $η$ un caractère défini modulo $q$ et d’ordre $o (η)$ . Ce caractère $η$ s’étend naturellement à l’anneau des entiers $p$ -adiques $ℤ_{p}$ ; précisément $η (u) = η (\tilde{u})$ , où $\tilde{u}$ désigne la classe résiduelle de $u$ modulo $q$ , et de même pour la racine de l’unité $ζ_{q}^{u} = e x p (2 π i \tilde{u} / q)$ . Fixons un entier positif $γ \geq r e - d$ pour lequel $N (1 + P^{γ}) \subseteq 1 + q ℤ_{p}$ , de sorte que les sommes (todues) de Kloosterman

R (η, z) = \sum_{α \in {(O / P^{γ})}^{*}} η (N α) ζ_{q}^{T r α + z / N α} (z \in Z / q Z^{*})

sont bien définies.

Saliè a déterminé explicitement $R (η, z)$ dans le cas classique $n = 1$ (donc $K = Q_{p}$ ) pour $q = p^{r}$ avec $r > 1$ et $o (η) = 1$ ou $2$ . Ici, je généralise le résultat de Saliè dans le cas général $n > 1$ pour des caractères $η$ avec $o (η) | p - 1$ (et aussi $o (η) = 2$ quand $p = 2$ ), et pour tout $γ \geq r e - d > 1$ sauf un petit nombre de valeurs exceptionnelles de $r$ . Mon évaluation repose sur la détermination récente et explicite par l’auteur des sommes de Gauss pour les puissances de nombres premiers dans les corps $p$ -adiques, et des sommes d’exponentielles de la forme $\sum χ {(x)}^{a x} ζ_{q}^{b x}$ .

MR

DOI : 10.5802/jtnb.665

Affiliations des auteurs :

Stanley J. Gurak ¹

¹ University of San Diego Alcala Park San Diego, CA 92110, USA

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Stanley J. Gurak. Kloosterman sums for prime powers in P-adic fields. Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 21 (2009) no. 1, pp. 175-201. doi : 10.5802/jtnb.665. https://jtnb.centre-mersenne.org/articles/10.5802/jtnb.665/

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