Sur les corps de Hilbert-Speiser
Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux, Tome 17 (2005) no. 3, pp. 767-778.

On dit qu’un corps est de Hilbert-Speiser en un premier p si toute extension modérée abélienne finie de degré p admet une base normale entière. On dit qu’un corps est de Hilbert-Speiser s’il est de Hilbert-Speiser pour tout premier p. Il est bien connu que est un tel corps. Dans un article [3] de 1998, Greither, Replogle, Rubin et Srivastav ont montré que était le seul corps de Hilbert-Speiser. On donne ici une condition nécessaire et suffisante pour qu’un corps soit de Hilbert-Speiser en p=2. On trouve par exemple que (p) est de Hilbert-Speiser en p=2 si et seulement si son nombre de classes est un. On généralise ensuite un article de Conrad et Replogle [1], ce qui nous donne des premiers p pour lesquels un corps abélien imaginaire n’est pas de Hilbert-Speiser en p et on donne également une condition quand le corps est réel.

A number field is called a Hilbert-Speiser field for a prime number p if each tamely ramified finite abelian extension of degree p admits a normal integral basis. A number field is called a Hilbert-Speiser field if it’s Hilbert-Speiser for all primes p. It’s well known that is such a field. In an article [3] written in 1998, Greither, Replogle, Rubin et Srivastav showed that is the only Hilbert-Speiser field. We give here a necessary and sufficient condition for a field to be Hilbert-Speiser for p=2. For example (p) is a Hilbert-Speiser field for p=2 if and only if its class number is one. Then generalizing works of Conrad and Replogle [1] we obtain prime numbers p for which an imaginary abelian field is a Hilbert-Speiser field for p, and we also give a criterion for real abelian fields.

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Thomas Herreng. Sur les corps de Hilbert-Speiser. Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux, Tome 17 (2005) no. 3, pp. 767-778. doi : 10.5802/jtnb.519. https://jtnb.centre-mersenne.org/articles/10.5802/jtnb.519/

[1] M. Conrad, D. R. Replogle, Nontrivial Galois Module Structure of cycloyomic Fields. Mathematic of computation 72 (2003), no. 242, 891–899. | MR 1954973 | Zbl 1020.11070

[2] A. Fröhlich, M. J. Taylor, Algebraic Number Theory. Cambridge University Press, 1991. | Zbl 0744.11001

[3] C. Greither, D. R. Replogle, K. Rubin, A. Srivastav, Swan Modules and Hilbert-Speiser number fields. J. of Number theory 79 (1999), 164–173. | MR 1718724 | Zbl 0941.11044

[4] L. R. McCulloh, A Stickelberger condition on Galois module structure for Kummer extensions of prime degree. Dans Algebraic Number Fields Proceedings of the Durham Symposium 1975, Academic press, London, 1977. | MR 457403 | Zbl 0389.12005

[5] H. B. Mann, On integral Basis. Proc. Amer. Math. Soc. 9 (1958), 119–149. | MR 93502 | Zbl 0081.26602

[6] L.C. Washington, Introduction to Cyclotomic Fields. Springer-Verlag, New-York, 1982. | MR 718674 | Zbl 0484.12001