Transcendance des valeurs des fonctions automorphes sur $\mathfrak {H} × \mathfrak {H}$

Geoffroy Derome

Transcendance des valeurs des fonctions automorphes sur

ℌ \times ℌ

Geoffroy Derome

Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 15 (2003) no. 3, pp. 683-696.

Résumé
Abstract

Soit $Γ$ un groupe arithmétique agissant proprement discontinument sur $ℌ \times ℌ$ de covolume fini. On sait que l’espace $Γ ∖ ℌ \times ℌ$ est isomorphe à l’ensemble des points complexes d’une variété algébrique quasi-projective $V_{Γ}$ définie sur $\bar{ℚ}$ . Soit $J_{Γ}$ : $ℌ \times ℌ \to V_{Γ} (ℂ)$ une application holomorphe invariante par l’action de $Γ$ et correctement normalisée. Grâce au résultats obtenus par P. Cohen, H. Shiga et J. Wolfart, on sait que $J_{Γ} (z_{1}, z_{2}) \notin V_{Γ} (\bar{ℚ})$ si $z = (z_{1}, z_{2})$ est un point algébrique non spécial de $ℌ \times ℌ$ . Dans cet article, nous allons montrer que nous avons $J_{Γ} (z_{1}, z_{2}) \notin V_{Γ} (\bar{ℚ})$ si $z_{1}$ et $z_{2}$ sont deux éléments de $ℌ$ , l’un étant algébrique et l’autre transcendant.

Let $Γ$ be an arithmetic group acting properly discontinuously on the product of two copies of the poincaré upper space $ℌ \times ℌ$ with finite covolume. One knows that the space $Γ ∖ ℌ \times ℌ$ is isomorphic to the set of complex points of a quasi-projective variety $V_{Γ}$ defined over $\bar{ℚ}$ . Let $J_{Γ} : ℌ \times ℌ \to V_{Γ} (ℂ)$ be an holomorphic mapping invariant under $Γ$ and properly normalized. Thanks to P. Cohen, H. Shiga and J. Wolfart’s results, one knows that $J_{Γ} (z_{1}, z_{2}) \notin V_{Γ} (\bar{ℚ})$ if $z = (z_{1}, z_{2})$ is an algebraic non special point of $ℌ \times ℌ$ .In the present article, we shall show, that we have $J_{Γ} (z_{1}, z_{2}) \notin V_{Γ} (\bar{ℚ})$ if $z_{1}$ and $z_{2}$ are two elements of $ℌ$ one of which is algebraic, the other transcendental.

MR Zbl

@article{JTNB_2003__15_3_683_0,
     author = {Geoffroy Derome},
     title = {Transcendance des valeurs des fonctions automorphes sur $\mathfrak {H} {\texttimes} \mathfrak {H}$},
     journal = {Journal de th\'eorie des nombres de Bordeaux},
     pages = {683--696},
     publisher = {Universit\'e Bordeaux I},
     volume = {15},
     number = {3},
     year = {2003},
     zbl = {1083.11048},
     mrnumber = {2142231},
     language = {fr},
     url = {https://jtnb.centre-mersenne.org/item/JTNB_2003__15_3_683_0/}
}

TY  - JOUR
AU  - Geoffroy Derome
TI  - Transcendance des valeurs des fonctions automorphes sur $\mathfrak {H} × \mathfrak {H}$
JO  - Journal de théorie des nombres de Bordeaux
PY  - 2003
SP  - 683
EP  - 696
VL  - 15
IS  - 3
PB  - Université Bordeaux I
UR  - https://jtnb.centre-mersenne.org/item/JTNB_2003__15_3_683_0/
LA  - fr
ID  - JTNB_2003__15_3_683_0
ER  -

%0 Journal Article
%A Geoffroy Derome
%T Transcendance des valeurs des fonctions automorphes sur $\mathfrak {H} × \mathfrak {H}$
%J Journal de théorie des nombres de Bordeaux
%D 2003
%P 683-696
%V 15
%N 3
%I Université Bordeaux I
%U https://jtnb.centre-mersenne.org/item/JTNB_2003__15_3_683_0/
%G fr
%F JTNB_2003__15_3_683_0

Geoffroy Derome. Transcendance des valeurs des fonctions automorphes sur $\mathfrak {H} × \mathfrak {H}$. Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 15 (2003) no. 3, pp. 683-696. https://jtnb.centre-mersenne.org/item/JTNB_2003__15_3_683_0/

Bibliographie
Cité par

[1] P.B. Cohen, Humbert surfaces and transcendence properties of automorphic functions. Rocky Mountain J. of Math. 26 no. 3 (1996), 987-1001. | MR | Zbl

[2] P.B. Cohen, Propriétés transcendantes des fonctions automorphes. Séminaire de Théorie des Nombres, Paris, Cambridge University Press, 1992-93. | MR | Zbl

[3] G. Derome, Transcendance des valeurs des fonctions automorphes de Siegel. Journal of Number Theory 85 (2000), 18-34. | MR | Zbl

[4] G. Derome, Transcendance des valeurs des fonctions automorphes arithmétiques. Thèse de doctorat, Université des Sciences et Techniques de Lille.

[5] G. Faltings, Arithmetic varieties and rigidity. Séminaire de théorie des nombres de Paris, 1982-83, Birkhäuser, 1984. | MR | Zbl

[6] I. Satake, Algebraic structures of symmetrics domains. Pub. Math. Soc. Japan 14, Shoten Pub. and Princeton University Press, 1980. | MR | Zbl

[7] H. Shiga And J. Wolfart, Criteria for complex multiplication and transcendence properties of automorphic function. J. Reine Angew. Math 463 (1995), 1-25. | MR | Zbl

[8] G. Shimura, On analytic families of polarized abelian varieties and automorphic functions. Ann. Math. 78 (1963), 149-192. | MR | Zbl

[9] G. Shimura, Moduli and fibre systems of abelian varieties. Ann. of Math. 83 (1966), 294-338. | MR | Zbl

[10] C.L. Siegel, Lectures on Riemann matrices. Tata Institute, Bombay 1963. | MR | Zbl

[11] G. Van Der Geer, Hilbert modular surfaces. Springer-Verlag, 1980. | MR | Zbl

[12] G. Wüstholz, Algebraic groups, Hodge theory, and Transcendence. Proc. ICM Berkeley 1 (1986), 476-483. | MR | Zbl