Un théorème de transcendance en caractéristique finie

Sophie Dion

Sophie Dion

Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 15 (2003) no. 1, pp. 57-82.

Résumé
Abstract

Soit $p$ un nombre premier et $q = p^{r}$ , où $r \in ℕ$ est non nul. On considère le corps $k = 𝔽_{q} (T)$ , dont on note $\bar{k}$ une clôture algébrique. On peut associer à tout module de Drinfeld de rang $2$ , défini sur $\bar{k}$ , un invariant modulaire $j$ , ainsi que des fonctions modulaires. On s'intéresse à l'une d'entre elles, notée $\bar{Δ}$ . On montre en particulier, que si $| t | < q^{- \frac{1}{q - 1}}$ alors l'un au moins des deux nombres $j (t)$ et $\bar{Δ} (t)$ est transcendant sur $k$ .

Let $p$ be a prime number, and $q = p^{r}$ , with $r \in ℕ ∖ \{0\}$ . Let $k = 𝔽_{q} (T)$ , and $\bar{k}$ be its algebraic closure. We can associate to any Drinfeld module of rank $2$ , a modular invariant $j$ , and also modular functions. We are interesting in one of them, denoted $\bar{Δ}$ . In particular, we show that if $| t | < q^{- \frac{1}{q - 1}}$ then at least one of the two numbers $j (t)$ and $\bar{Δ} (t)$ is transcendental over $k$ .

MR Zbl

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Sophie Dion. Un théorème de transcendance en caractéristique finie. Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 15 (2003) no. 1, pp. 57-82. https://jtnb.centre-mersenne.org/item/JTNB_2003__15_1_57_0/

Bibliographie
Cité par

[ADR] M. Ably, L. Denis, F. Recher, Transcendance de l'invariant modulaire en caractéristique finie. Math. Z. 231 (1999), 75-89. | MR | Zbl

[Ba] S. Bae, On the modular equation for Drinfeld modules of rank 2. J. Number Theory 42 (1992), 123-133. | MR | Zbl

[BS] K. Barré-Sirieix, G. Diaz, F. Gramain, G. Philibert, Une preuve de la conjecture de Mahler-Manin. Invent. Math. 124 (1996), 1-9. | MR | Zbl

[B] M.L. Brown, Singular moduli and supersingular moduli of Drinfeld modules. Invent. Math. 110 (1992), 419-439. | MR | Zbl

[Ca] L. Carlitz, The arithmetic of polynomials in Galois field. Amer. J. Math. 54 (1932), 39-50. | JFM | MR | Zbl

[Ch] G.V. Chudnovsky, Contributions to the theory of transcendental numbers. Math. Surveys A.M.S. 19 (1984), 355-383. | Zbl

[Gel] E.U. Gekeler, Drinfeld-Moduln und modulare Formen über rationalen Funktionkörpern. Dissertation, Rheinische Friedrich-Wilhems-Universität, Bonn, 1979. Bonner Mathematische Schriften 119. | MR | Zbl

[Ge2] E.U. Gekeler, Über Drinfeldsche Modulkurven vom Hecke-Typ. Comp. Math. 57 (1986), 219-236. | Numdam | MR | Zbl

[Ge3] E.U. Gekeler, Drinfeld modular curves. Lecture Notes in Math., Springer-Verlag, 1986. | MR | Zbl

[Ge4] E.U. Gekeler, A product expansion for the discriminant function of Drinfeld modules of rank two. J. Number Theory 21 (1985), 135-140. | MR | Zbl

[Ge5] E.U. Gekeler, On the coefficients on Drinfeld modular forms. Invent. Math. 93 (1988), 667-700. | MR | Zbl

[Ge6] E.U. Gekeler, On the de Rham isomorphism for Drinfeld modules. J. Reine Angew. Math. 401 (1989), 188-208. | MR | Zbl

[Ge7] E.U. Gekeler, Quasi periodic functions and Drinfeld modular forms. Comp. Math. 69 (1989), 277-293. | Numdam | MR | Zbl

[H] L.C. Hsia, On the coefficients of modular polynomials for Drinfeld modules. J. Number Theory 72 (1998), 236-256. | MR | Zbl

[L] S. Lang, Elliptic functions. Addison Wesley, 1973. | MR | Zbl

[M] R. Müller, Algebraische unabhängigkeit der werte gewisser lückenreihen in nichtarchimedisch bewerteten körpern. Results Math. 24 (1993), 288-297. | MR | Zbl

[N1] Y. Nesterenko, Modular functions and transcendence problems. C.R. Acad. Sci. Paris 322 (1996), 909-914. | MR | Zbl

[N2] Y. Nesterenko, Modular functions and transcendence questions. Mat. Sb. 187 (1996), no 9, 65-96 (russian); English translation in Sb. Math. 187 (1996), no 9, 1319-1348. | MR | Zbl

[P] P. Philippon, Indépendance algébràque et K-fonctions. J. Reine Angew. 497 (1998), 1-15. | MR | Zbl

[T] A. Thiery, Indépendance algébrique des périodes et quasi-périodes d'un module de Drinfeld. The arithmetic of function fields, Proc. of the workshop at the Ohio State Univ., Berlin: Walter de Gruyter, 1991. | Zbl