Fundamental domains for Shimura curves

David R. Kohel; Helena A. Verrill

David R. Kohel ; Helena A. Verrill

Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 15 (2003) no. 1, pp. 205-222.

Résumé
Abstract

Nous décrivons un procédé permettant de déterminer explicitement un domaine fondamental dans le demi-plan supérieur pour une courbe de Shimura $X_{0}^{D} (N)$ associée à un ordre d’une algèbre de quaternions $A / ℚ$ . Un domaine fondamental pour $X_{0}^{D} (N)$ réalise une présentation finie du groupe des unités quaternioniennes modulo les unités du centre. Nous donnons des exemples explicites pour les courbes $X_{0}^{6} (1), X_{0}^{15} (1)$ et $X_{0}^{35} (1)$ . Le premier exemple est l’exemple classique d’un groupe triangulaire et le second est une version corrigée due à Michon de celui du livre [13] de Vignéras. Ces exemples sont aussi traités dans la thèse d’Alsina [1]. Le dernier exemple est nouveau et fournit un modèle des méthodes qu’il faut appliquer lorsque le groupe agit sans points elliptiques.

We describe a process for defining and computing a fundamental domain in the upper half plane $ℋ$ of a Shimura curve $X_{0}^{D} (N)$ associated with an order in a quaternion algebra $A / 𝐐$ . A fundamental domain for $X_{0}^{D} (N)$ realizes a finite presentation of the quaternion unit group, modulo units of its center. We give explicit examples of domains for the curves $X_{0}^{6} (1), X_{0}^{15} (1), and X_{0}^{35} (1)$ . The first example is a classical example of a triangle group and the second is a corrected version of that appearing in the book of Vignéras [13], due to Michon. These examples are also treated in the thesis of Alsina [1]. The final example is new and provides a demonstration of methods to apply when the group action has no elliptic points.

MR Zbl

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David R. Kohel; Helena A. Verrill. Fundamental domains for Shimura curves. Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 15 (2003) no. 1, pp. 205-222. https://jtnb.centre-mersenne.org/item/JTNB_2003__15_1_205_0/

Bibliographie
Cité par

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