Résultats élémentaires sur certaines équations diophantiennes

Pierre Samuel

Pierre Samuel

Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 14 (2002) no. 2, pp. 629-646.

Résumé
Abstract

Dans des travaux profonds, W. Ljunggren a montré que, pour $a > 0$ donné, les équations diophantiennes $x^{4} - a y^{2} = 1$ and $x^{2} - a y^{4} = 1$ ont au plus $1$ ou $2$ solutions non triviales. Par des méthodes élémentaires, je réponds ici à la question : pour quelles valeurs de $a$ , premières ou analogues, ont-elles des solutions non-triviales ?

Deep theorems of W. Ljunggren have shown that, for given $a > 0$ , the diophantine equations $x^{4} - a y^{2} = 1$ and $x^{2} - a y^{4} = 1$ , have at most $1$ or $2$ non trivial solutions. By elementary methods, I give here an answer to the following question : for which values of $a$ , prime or related, do these equations have non trivial solutions ?

MR Zbl

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Pierre Samuel. Résultats élémentaires sur certaines équations diophantiennes. Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 14 (2002) no. 2, pp. 629-646. https://jtnb.centre-mersenne.org/item/JTNB_2002__14_2_629_0/

Bibliographie
Cité par

[1] J.H.E. Cohn, The Diophantine equation x4 - Dy2 = 1. Quart. J. Math. Oxford Ser. (2) 26 (1975), no. 103, 279-281. | MR | Zbl

[2] J.H.E. Cohn, The Diophantine equation x4 - Dy2 = 1. II. Acta Arith. 78 (1997), 401-403. | MR | Zbl

[3] W. Ljunggren, Über die Gleichung x4 - Dy2 = 1. Arch. Math. Naturv., Olso, 45 (1942), n°5, 61-70. | JFM | MR

[4] W. Ljunggren, Zur Theorie der Gleichung x2 +1 = Dy4. Avh. Norsk. Vid. Akad. Olso, (1942), 1-27. | JFM | MR | Zbl

[5] W. Ljunggren, Ein satz über die diophantische Gleichung Ax2 - By4 = C (C = 1, 2, 4). Tolfte Skand. Math. Kongresses, Lund, 1953, pp. 188-194. Lunds Universitets Matematiska Inst., Lund, (1954). | MR | Zbl

[6] P. Ribenboim, Nombres premiers, mystères et records. Presses Universitaires de France, Paris, 1994, pp. 217-218. | MR | Zbl