Classes de Steinitz d’extensions à groupe de Galois $A_4$

Marjory Godin; Bouchaïb Sodaïgui

Classes de Steinitz d’extensions à groupe de Galois

A_{4}

Marjory Godin ; Bouchaïb Sodaïgui

Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 14 (2002) no. 1, pp. 241-248

Résumé (VO)
Abstract

Soient $k$ un corps de nombres et $𝒞 l (k)$ son groupe des classes. Une extension de $k$ à groupe de Galois isomorphe au groupe alterné $A_{4}$ est dite alternée. Soit $E / k$ une extension cyclique de degré $3$ . On calcule la classe de Steinitz, dans $𝒞 l (k)$ , de toute extension alternée contenant $E$ . Sous l’hypothèse que le nombre des classes de $k$ est impair, on détermine l’ensemble de telles classes et on montre que c’est un sous-groupe de $𝒞 l (k)$ lorsque l’anneau des entiers de $E$ est libre sur celui de $k$ ou $3$ ne divise pas l’ordre de $𝒞 l (k)$ . Ensuite, on montre que l’ensemble des éléments de $𝒞 l (k)$ qui sont réalisables par des classes de Steinitz d’extensions alternées (resp. alternées et modérées) est le groupe $𝒞 l (k)$ tout entier.

Let $k$ be a number field and $𝒞 l (k)$ its class group. A Galois extension of $k$ is called alternating if its Galois group is isomorphic to the alternating group $A_{4}$ . Let $E / k$ be a cyclic extension of degree $3$ . We calculate the Steinitz class, in $𝒞 l (k)$ , of every alternating extension containing $E$ . Under the assumption that the class number of $k$ is odd, we determine the set of such classes and we prove that it is a subgroup of $𝒞 l (k)$ when the ring of integers of $E$ is free over that for $k$ or the order of $𝒞 l (k)$ is not divisible by $3$ . Next, we prove that the subset of $𝒞 l (k)$ consisting of those classes which are realizable as the Steinitz classes of alternating (resp. tame alternating) extensions is the full group $𝒞 l (k)$ .

MR Zbl

@article{JTNB_2002__14_1_241_0,
     author = {Marjory Godin and Boucha{\"\i}b Soda{\"\i}gui},
     title = {Classes de {Steinitz} d{\textquoteright}extensions \`a groupe de {Galois} $A_4$},
     journal = {Journal de th\'eorie des nombres de Bordeaux},
     pages = {241--248},
     year = {2002},
     publisher = {Universit\'e Bordeaux I},
     volume = {14},
     number = {1},
     zbl = {1026.11082},
     mrnumber = {1926000},
     language = {fr},
     url = {https://jtnb.centre-mersenne.org/item/JTNB_2002__14_1_241_0/}
}

TY  - JOUR
AU  - Marjory Godin
AU  - Bouchaïb Sodaïgui
TI  - Classes de Steinitz d’extensions à groupe de Galois $A_4$
JO  - Journal de théorie des nombres de Bordeaux
PY  - 2002
SP  - 241
EP  - 248
VL  - 14
IS  - 1
PB  - Université Bordeaux I
UR  - https://jtnb.centre-mersenne.org/item/JTNB_2002__14_1_241_0/
LA  - fr
ID  - JTNB_2002__14_1_241_0
ER  -

%0 Journal Article
%A Marjory Godin
%A Bouchaïb Sodaïgui
%T Classes de Steinitz d’extensions à groupe de Galois $A_4$
%J Journal de théorie des nombres de Bordeaux
%D 2002
%P 241-248
%V 14
%N 1
%I Université Bordeaux I
%U https://jtnb.centre-mersenne.org/item/JTNB_2002__14_1_241_0/
%G fr
%F JTNB_2002__14_1_241_0

Marjory Godin; Bouchaïb Sodaïgui. Classes de Steinitz d’extensions à groupe de Galois $A_4$. Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 14 (2002) no. 1, pp. 241-248. https://jtnb.centre-mersenne.org/item/JTNB_2002__14_1_241_0/

Bibliographie
Cité par

[A] E. Artin Questions de base minimale dans la théorie des nombres algébriques. Dans: Colloq. Internat. CNRS 24, Paris, 1950, 19-20. | Zbl | MR

[C1] J.E. Carter, Steinitz classes of a nonabelian extension of degree p3. Colloq. Math. 71 (1996), 297-303 | Zbl | MR | EuDML

[C2] J.E. Carter, Module structure of integers in metacyclic extensions. Colloq. Math. 76 (1998), 191-199. | Zbl | MR | EuDML

[C3] J.E. Carter, Steinitz classes of nonabelian extensions of degree p3. Acta Arith. 78 (1997), 297-303. | Zbl | MR | EuDML

[F] A. Fröhlich, The discriminant of relative extensions and the existence of integral bases. Mathematika 7 (1960), 15-22. | Zbl | MR

[FT] A. Fröhlich, M.J. Taylor, Algebraic number theory. Cambridge University Press, 1991. | Zbl | MR

[H] E. Hecke Lectures on the theory of algebraic numbers. Graduate Texts Math. 77, Springer-Verlag, New York, 1981. | Zbl | MR

[K] S.-H. Kwon, Extensions à groupes de Galois A4. Thèse, Université de Bordeaux I, 1984. Corps de nombres de degré 4 de type alterné. C.R.Acad.Sci. 299 (2) (1984), 41-43. | Zbl

[L] R. Long, Steinitz classes of cyclic extensions of prime degree. J. Reine Angew. Math. 250 (1971), 87-98. | Zbl | MR | EuDML

[Ma] J. Martinet, Discriminants and permutation groups. Number Theory, Walter de Gruyter (Richard A. Molin, ed.), Berlin - New York, 1990, 359-385 | Zbl | MR

[Mc] L.R. Mcculloh, Galois module structure of abelian extensions. J. Reine Angew. Math. 375/376 (1987), 259-306. | Zbl | MR

[N] J. Neukirch Class field theory. Springer-Verlag, Berlin, 1986. | Zbl | MR

[Se] J.-P. Serre, Corps Locaux, 3ème édition. Hermann, Paris, 1980 | MR

[So1] B. Sodaïgui, Classes de Steinitz d'extensions galoisiennes relatives de degré une puissance de 2 et problème de plongement. Illinois J. Math. 43 (1999), 47-60. | Zbl | MR

[So2] B. Sodaïgui, Relative Galois module structure and Steinitz classes of dihedral extensions of degree 8. J. Algebra 223 (1999), 367-378. | Zbl | MR

[So3] B. Sodaïgui, Realizables Classes of quaternion extensions of degree 41. J. Number Theory 80 (2000), 304-315. | Zbl | MR

[W] L.C. Washington, Introduction to cyclotomic fields, 2nd edition. Springer-Verlag, Berlin, 1996. | MR