More on inhomogeneous diophantine approximation
Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 13 (2001) no. 2, pp. 539-557.

Pour un nombre irrationnel α et un nombre réel γ, on considère la constante d’approximation non-homogène

M(α,γ):=lim inf |n|→∞ |n|||nα-γ||
en rapport avec le développement en fraction continue négatif semi-régulier de α
α=1 a 1 -1 a 2 -1 a 3 -⋯
et un α-développement adéquat de γ. Nous donnons une majoration de
ρ(α):=sup γ∉𝐙+α𝐙 M(α,γ),
dans le cas où α est mal approximé, qui s’avère fine lorsque les quotients partiels a i sont presque tous pairs et supérieurs ou égaux à 4. Lorsque le développement de α est de période 1, on décrit entièrement le spectre des valeurs prises par
𝐋(α):={M(α,γ):γ∉𝐙+α𝐙},
au-dessus du premier point d’accumulation.

For an irrational real numberα and real number γ we consider the inhomogeneous approximation constant

M(α,γ):=lim inf |n|→∞ |n|||nα-γ||
via the semi-regular negative continued fraction expansion of α
α=1 a 1 -1 a 2 -1 a 3 -⋯
and an appropriate alpha-expansion of γ. We give an upper bound on the case of worst inhomogeneous approximation,
ρ(α):=sup γ∉𝐙+α𝐙 M(α,γ),
which is sharp when the partial quotients ai are almost all even and at least four. When the negative expansion has period one we give a complete description of the spectrum of values
L(α):={M(α,γ):γ∉𝐙+α𝐙},
above the first limit point.

@article{JTNB_2001__13_2_539_0,
     author = {Christopher G. Pinner},
     title = {More on inhomogeneous diophantine approximation},
     journal = {Journal de th\'eorie des nombres de Bordeaux},
     pages = {539--557},
     publisher = {Universit\'e Bordeaux I},
     volume = {13},
     number = {2},
     year = {2001},
     zbl = {1014.11043},
     mrnumber = {1879672},
     language = {en},
     url = {https://jtnb.centre-mersenne.org/item/JTNB_2001__13_2_539_0/}
}
TY  - JOUR
AU  - Christopher G. Pinner
TI  - More on inhomogeneous diophantine approximation
JO  - Journal de théorie des nombres de Bordeaux
PY  - 2001
SP  - 539
EP  - 557
VL  - 13
IS  - 2
PB  - Université Bordeaux I
UR  - https://jtnb.centre-mersenne.org/item/JTNB_2001__13_2_539_0/
LA  - en
ID  - JTNB_2001__13_2_539_0
ER  - 
%0 Journal Article
%A Christopher G. Pinner
%T More on inhomogeneous diophantine approximation
%J Journal de théorie des nombres de Bordeaux
%D 2001
%P 539-557
%V 13
%N 2
%I Université Bordeaux I
%U https://jtnb.centre-mersenne.org/item/JTNB_2001__13_2_539_0/
%G en
%F JTNB_2001__13_2_539_0
Christopher G. Pinner. More on inhomogeneous diophantine approximation. Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 13 (2001) no. 2, pp. 539-557. https://jtnb.centre-mersenne.org/item/JTNB_2001__13_2_539_0/

[1] E.S. Barnes, H.P.F. Swinnerton-Dyer, The inhomogeneous minima of binary quadratic forms. Part I, Acta Math. 87 (1952), 259-323; Part II, Acta Math. 88 (1952), 279-316; Part III, Acta Math. 92 (1954), 199-234; Part IV (without second author) Acta Math. 92 (1954), 235-264. | Zbl

[2] T.W. Cusick, A.M. Rockett, P. Szúsz, On inhomogeneous Diophantine approximation. J. Number Theory 48 (1994), 259-283. | MR | Zbl

[3] H. Davenport, Non-homogeneous binary quadratic forms. Nederl. Akad. Wetensch. Proc. 50 (1947), 741-749, 909-917 = Indagationes Math. 9 (1947), 351-359, 420-428. | MR | Zbl

[4] T. Komatsu, On inhomogeneous diophantine approximation and the Nishioka - Shiokawa- Tamura algorithm. Acta Arith. 86 (1998), 305-324. | MR | Zbl

[5] W. Moran, C. Pinner, A. Pollington, On inhomogeneous Diophantine approximation, preprint.

[6] P. Varnavides, Non-homogeneous quadratic forms, I, II. Nederl. Akad. Wetensch. Proc. 51, (1948) 396-404, 470-481. = Indagationes Math. 10 (1948), 142-150, 164-175. | MR | Zbl