On low-complexity bi-infinite words and their factors

Alex Heinis

Alex Heinis

Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 13 (2001) no. 2, pp. 421-442

Abstract (VO)
Résumé

In this paper we study bi-infinite words on two letters. We say that such a word has stiffness $k$ if the number of different subwords of length $n$ equals $n + k$ for all $n$ sufficiently large. The word is called $k$ -balanced if the numbers of occurrences of the symbol a in any two subwords of the same length differ by at most $k$ . In the present paper we give a complete description of the class of bi-infinite words of stiffness $k$ and show that the number of subwords of length $n$ from this class has growth order $n^{3}$ . In the case $k = 1$ we give an exact formula. We also consider the class of $k$ -balanced bi-infinite words. It is well-known that the number of subwords of length $n$ from this class has growth order $n^{3}$ if $k = 1$ . In contrast, we show that the number is $\geq 2^{n / 2}$ when $k \geq 2$ .

Dans cet article on étudie des mots bi-infinis sur deux symboles. On dit qu’un tel mot est de rigidité $k$ si le nombre de facteurs différents de longueur $n$ est égal à $n + k$ pour $n$ grand. Un tel mot est appelé $k$ -balancé si le nombre d’occurrences du symbole $a$ dans deux facteurs quelconques de même longueur peuvent différer au plus de $k$ . Dans cet article on donne une description complète de la classe des mots bi-infinis de rigidité $k$ et on montre que le nombre de facteurs de longueur $n$ de cette classe est de l’ordre de $n^{3}$ . Dans le cas $k = 1$ on donne une formule exacte. On considère aussi la classe des mots bi-infinis $k$ -balancés. Il est bien connu que le nombre de facteurs de longueur $n$ est de l’ordre de $n^{3}$ si $k = 1$ . En revanche, on montre que ce nombre est $\geq 2^{n / 2}$ si $k \geq 2$ .

MR Zbl

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Alex Heinis. On low-complexity bi-infinite words and their factors. Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 13 (2001) no. 2, pp. 421-442. https://jtnb.centre-mersenne.org/item/JTNB_2001__13_2_421_0/

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