The Lehmer constants of an annulus

Artūras Dubickas; Chris J. Smyth

doi:10.5802/jtnb.330

Artūras Dubickas ; Chris J. Smyth

Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 13 (2001) no. 2, pp. 413-420

Abstract (VO)
Résumé

Let $M (α)$ be the Mahler measure of an algebraic number $α$ , and $V$ be an open subset of $ℂ$ . Then its \emph{Lehmer constant} $L (V)$ is inf $M {(α)}^{1 / deg (α)}$ , the infimum being over all non-zero non-cyclotomic $α$ lying with its conjugates outside $V$ . We evaluate $L (V)$ when $V$ is any annulus centered at $0$ . We do the same for a variant of $L (V)$ , which we call the transfinite Lehmer constant $L_{\infty} (V)$ .\\ Also, we prove the converse to Langevin's Theorem, which states that $L (V) > 1$ if $V$ contains a point of modulus $1$ . We prove the corresponding result for $L_{\infty} (V)$ .

Soit $M (α)$ la mesure de Mahler d'un nombre algébrique $α$ , et $V$ un ouvert de $ℂ$ . Alors sa \emph{constante de Lehmer} $L (V)$ est égale à inf $M {(α)}^{1 / deg (α)}$ , l'infimum étant évalué sur tous les nombres algébriques non cyclotomiques $α$ dont tous les conjugués sont à l'extérieur de $V$ . Nous calculons $L (V)$ lorsque $V$ est une couronne centrée en $0$ . Nous faisons de même pour la constante de Lehmer transfinie $L_{\infty} (V)$ .\\ Nous démontrons également la réciproque d'un théorème de Langevin, qui affirme que $L (V) > 1$ si $V$ contient un élément de module $1$ , ainsi que le résultat analogue avec $L_{\infty} (V)$ .

MR Zbl

DOI : 10.5802/jtnb.330

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Artūras Dubickas; Chris J. Smyth. The Lehmer constants of an annulus. Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 13 (2001) no. 2, pp. 413-420. doi: 10.5802/jtnb.330

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