An arithmetic analogue of Clifford's theorem
Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 13 (2001) no. 1, pp. 143-156.

Number fields can be viewed as analogues of curves over fields. Here we use metrized line bundles as analogues of divisors on curves. Van der Geer and Schoof gave a definition of a function h0 on metrized line bundles that resembles properties of the dimension l(D) of H0(X,ℒ(D)), where D is a divisor on a curve X. In particular, they get a direct analogue of the Rieman-Roch theorem. For three theorems of curves, notably Clifford’s theorem, we will propose arithmetic analogues.

Nous considérons ici certains fibrés en droites métriques comme analogues des diviseurs sur les courbes. Van der Geer et Schoof ont défini une fonction h0 sur les fibrés métriques dont les propriétés ressemblent à celles de la dimension de H0(X,ℒ(D)), où D désigne un diviseur sur la courbe X. Ils obtiennent en particulier un analogue du théorème de Riemann-Roch. Nous proposons des analogues arithmétiques de trois théorèmes sur les courbes, notamment du théorème de Clifford.

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[1] P. Francini, The function h° for quadratic number fields. These proceedings.

[2] W. Fulton, Algebraic Curves. Addison Wesley, 1989. | MR | Zbl

[3] G. Van Der Geer, R. Schoof, Effectivity of Arakelov Divisors and the Theta Divisor of a Number Field. Preprint 1999, version 3. URL: "http://xxx.lanl.gov/abs/math/9802121" . | MR

[4] R. Hartshorne, Algebraic Geometry. Springer-Verlag, 1977. | MR | Zbl

[5] J. Neukirch, Algebraische Zahlentheorie. Springer-Verlag, 1992. | Zbl