Valeurs zêta multiples. Une introduction
Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 12 (2000) no. 2, pp. 581-595.

Soit s ̲=(s 1 ,⋯,s k ) un k-uplet d’entiers positifs avec k≥1. Pour s 1 ≥2, la série

∑ n 1 >⋯>n k ≥1 n 1 -s k ⋯n k -s k
converge et sa somme est notée ζ(s ̲). Dans le cas k=1 il s’agit simplement des valeurs de la fonction zêta de Riemann aux entiers positifs. Quelles relations algébriques existent entre ces nombres ? Le produit ζ(s ' )ζ(s '' ) de deux valeurs de fonctions zêta multiples est une combinaison linéaire de ζ(s ̲), comme on le voit facilement en multipliant les séries : c’est le produit de mélange lié aux séries. D’autre part une autre expression pour le nombre ζ(s ̲) est donnée par une intégrale itérée (intégrale de Chen); cela fournit une autre relation quadratique exprimant de nouveau le produit ζ(s ' )ζ(s '' ) comme une combinaison linéaire de ζ(s ̲) : c’est le produit de mélange lié aux intégrales. On conjecture que ces deux produits de mélange suffisent à décrire toutes les relations algébriques entre les nombres ζ(s ̲). Se pose alors le problème d’étudier l’algèbre engendrée par des générateurs (les multizêta symboliques) indexés par les k-uplets s ̲ et définie par les relations données par ces deux produits de mélange; on obtient ainsi l’algèbre MZV, dont Écalle est en train de déterminer la structure. Pour définir des séries génératrices permettant de coder simultanément tous les multizêta symboliques il convient d’inclure les s ̲ correspondant à des séries divergentes (avec s 1 =1). Nous mentionnons enfin brièvement quelques résultats de l’équipe de Petitot sur les polylogarithmes, et encore plus brièvement plusieurs sujets connexes.

For positive integers s 1 ,⋯,s k with s 1 ≥2, the series

∑ n 1 >⋯>n k ≥1 n 1 -s k ⋯n k -s k
converges and its sum is denoted by ζ(s 1 ,⋯,s k ). In case k=1 this is nothing else than the value of the Riemann zeta function at the point s 1 . What are the algebraic relations between these numbers? these numbers? The product of two multiple zeta values is again a multiple zeta value: this is easily checked by multiplying the two series, and using a shuffie» product. An example is
ζ(2)ζ(3)=ζ(2,3)+ζ(3,2)+ζ(5),
There are other quadratic relations between these numbers, which arise from another expression of ζ(s ̲)=ζ(s 1 ,⋯,s k ) as a (Chen) iterated integral:
ζ(s ̲)=∫ Δ p ω ϵ 1 (t 1 )⋯ω ϵ p (t p ),
with the following notation : p=s 1 +⋯+s k , the sequence (ϵ 1 ,⋯,ϵ p ) of elements in {0, 1} is defined by writing the word
x 0 s 1 -1 x 1 ⋯x 0 s k -1 x 1 =x ϵ 1 ⋯x ϵ p
on the alphabet X={x 0 ,x 1 }, the differential forms ω ϵ are defined by
ω 0 (t)=dt tetω 1 (t)=dt 1-t
and Δ p is the following simplex in ℝ P :
Δ p ={t ̲∈ℝ p ;1>t 1 >⋯>t p >0}.
Again this yields an expression of the product of two multiple zeta values as a linear combination of multiple zeta values, a simple example being
ζ(2)ζ(3)=ζ(2,3)+3ζ(3,2)+6ζ(4,1).
The main conjecture is that these two types of relations are sufficient to describe all algebraic relations between these numbers. This subject has deep connections with many other mathematical topics: combinatoric (the theory of quasisymmetric functions, Radford’s Theorem and Lyndon words), Lie and Hopf algebras, Écalle’s theory of resurgent series, Goncharov’s work on mixed Tate motives on Specℤ, polylogarithms, monodromy of differential equations, the fundamental group of the projective line minus three points and Belyi’s Theorem, the absolute Galois group of ℚ, the group of Grothendieck-Teichmüller, knots theory and Vassiliev invariants, K-theory, Feynman diagrams and quantum field theory, quasi-triangular quasi-Hopf algebras and Drinfeld’s associator Φ KZ (related to the connexion of Knizhnik-Zamolodchikov).

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