Congruences modulo $\ell $ between $\epsilon $ factors for cuspidal representations of $GL(2)$

Marie-France Vignéras

Congruences modulo

ℓ

between

ϵ

factors for cuspidal representations of

G L (2)

Marie-France Vignéras

Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 12 (2000) no. 2, pp. 571-580.

Résumé
Abstract

Titre français : Congruences modulo $ℓ$ entre facteurs $ϵ$ des représentations cuspidales de $G L (2)$ . Soient $ℓ \neq p$ deux nombres premiers distincts, $F$ un corps local non archimedien de caractéristique résiduelle $p, {\bar{𝐐}}_{ℓ}$ une clôture algébrique du corps des nombres $ℓ$ -adiques, et ${\bar{𝐅}}_{ℓ}$ le corps résiduel de ${\bar{𝐐}}_{ℓ}$ . On conjecture que la correspondance locale de Langlands pour $G L (n, F)$ sur ${\bar{𝐐}}_{ℓ}$ respecte les congruences modulo $ℓ$ entre les facteurs $L$ et $ϵ$ de paires, et que la correspondance locale de Langlands sur ${\bar{𝐅}}_{ℓ}$ est caractérisée par des identités entre de nouveaux facteurs $L$ et $ϵ$ . Nous allons le démontrer lorsque $n = 2$ .

Let $ℓ \neq p$ be two different prime numbers, let $F$ be a local non archimedean field of residual characteristic $p$ , and let ${\bar{𝐐}}_{ℓ}, {\bar{𝐙}}_{ℓ}, {\bar{𝐅}}_{ℓ}$ be an algebraic closure of the field of $ℓ$ -adic numbers $𝐐_{ℓ}$ , the ring of integers of ${\bar{𝐐}}_{ℓ}$ , the residual field of ${\bar{𝐙}}_{ℓ}$ . We proved the existence and the unicity of a Langlands local correspondence over ${\bar{𝐅}}_{ℓ}$ for all $n \geq 2$ , compatible with the reduction modulo $ℓ$ in [V5], without using $L$ and $ϵ$ factors of pairs. We conjecture that the Langlands local correspondence over ${\bar{𝐐}}_{ℓ}$ respects congruences modulo $ℓ$ between $L$ and $ϵ$ factors of pairs, and that the Langlands local correspondence over ${\bar{𝐅}}_{ℓ}$ is characterized by identities between new $L$ and $ϵ$ factors. The aim of this short paper is prove this when $n = 2$ .

EuDML MR Zbl

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Marie-France Vignéras. Congruences modulo $\ell $ between $\epsilon $ factors for cuspidal representations of $GL(2)$. Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 12 (2000) no. 2, pp. 571-580. https://jtnb.centre-mersenne.org/item/JTNB_2000__12_2_571_0/

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