Réalisation de formes $\mathbb {Z}$-bilinéaires symétriques comme formes trace hermitiennes amplifiées

Grégory Berhuy

Réalisation de formes

ℤ

-bilinéaires symétriques comme formes trace hermitiennes amplifiées

Grégory Berhuy

Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 12 (2000) no. 1, pp. 25-36.

Résumé
Abstract

Dans cet article, on montre de manière explicite que toute forme $ℤ$ -bilinéaire symétrique non dégénérée de rang pair, et non $ℚ$ -isomorphe au plan hyperbolique, se réalise comme forme trace hermitienne amplifiée d’une algèbre $ℤ [α]$ , où $α$ est un entier algébrique. Plus précisemment, on montre que pour tout $S \in M_{2 n} (ℤ)$ symétrique, avec det $S \neq 0$ (et det $S \neg \equiv - 1$ (mod $ℚ^{* 2}$ ) si $n = 1$ ), il existe un entier algébrique $α$ , une involution $ℚ$ -linéaire $σ$ de $ℚ (α), λ \in ℚ (α) σ$ -symétrique et une $ℤ$ -base $v_{1}, \dots, v_{2 n}$ d’un idéal de $ℤ [α]$ tels que $S = (T r_{ℚ (α) / ℚ} (λ v_{i} v_{j}^{σ}))$ .

In this paper, we show by an explicit method that every non degenerate symmetric $ℤ$ -bilinear form of even rank, which is not $ℚ$ -isomorphic to the hyperbolic plane, can be realized as a hermitian scaled trace form of some algebra $ℤ [α]$ , where $α$ is an algebraic integer. More precisely, we show that for every symmetric matrix $S \in M_{2 n} (ℤ)$ , with det $S \neq 0$ (and det $S \neg \equiv - 1$ (mod $ℚ^{* 2}$ ) if $n = 1$ ), there exist an algebraic integer $α$ , a $ℚ$ -linear involution $σ$ of $ℚ (α),$ a $σ$ -symmetric element $λ \in ℚ (α)$ and a $ℤ$ -basis $v_{1}, \dots, v_{2 n}$ of some ideal of $ℤ [α]$ such that $S = (T r_{ℚ (α) / ℚ} (λ v_{i} v_{j}^{σ}))$ .

MR Zbl

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Grégory Berhuy. Réalisation de formes $\mathbb {Z}$-bilinéaires symétriques comme formes trace hermitiennes amplifiées. Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 12 (2000) no. 1, pp. 25-36. https://jtnb.centre-mersenne.org/item/JTNB_2000__12_1_25_0/

Bibliographie
Cité par

[1] E. Bayer-Fluckiger, Jacques Martinet, Formes quadratiques liées aux algèbres semi-simples. J. reine angew. Math. 451 (1994), 51-69. | MR | Zbl

[2] M. Krüskemper, Algebraic construction of bilinear forms over Z. Pub. Math. de Besançon, Théorie des nombres (96/97-97/98).

[3] O. Taussky, On a theorem of Latimer and MacDuffee. Canad. J. Math. 1 (1949), 300-302. | MR | Zbl

[4] O. Taussky, On matrix classes corresponding to an ideal and its inverse. Illinois Math. J. 1 (1957), 108-113. | MR | Zbl