Capitulation and transfer kernels

K. W. Gruenberg; A. Weiss

K. W. Gruenberg ; A. Weiss

Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 12 (2000) no. 1, pp. 219-226.

Résumé
Abstract

On sait que pour une extension galoisienne finie $K / k$ d'un corps de nombres, le noyau du morphisme d'extension $C l_{k} \to C l_{K}$ s'identifie au noyau $X (H)$ du transfert $H / H^{'} A,$ où $H \to A$ , où $H =$ Gal $(\tilde{K} / k)$ , et $\tilde{K}$ est le corps de classes de Hilbert de $K$ . Lorsque le groupe $G =$ Gal $(\tilde{K} / k)$ est abélien, H. Suzuki a montré que $| G |$ divise $| X (H) |$ . Nous appelons noyau de transfert pour $G$ tout groupe abélien fini $X$ qui s'écrit $X (H)$ pour un certain groupe $H$ tel que $A ↪ H ↠ G$ . Après avoir caractérisé les noyaux de transfert en termes de représentations entières de $G$ , nous montrons que $X$ est un noyau de transfert pour le groupe abélien $G$ si et seulement si on a $| G | X = 0$ et $| G |$ divise $| X |$ , ce qui fournit une nouvelle démonstration du résultat de Suzuki.

If $K / k$ is a finite Galois extension of number fields with Galois group $G$ , then the kernel of the capitulation map $C l_{k} \to C l_{K}$ of ideal class groups is isomorphic to the kernel $X (H)$ of the transfer map $H / H^{'} \to A,$ where $H = Gal (\tilde{K} / k), A = Gal (\tilde{K} / K)$ and $\tilde{K}$ is the Hilbert class field of $K$ . H. Suzuki proved that when $G$ is abelian, $| G |$ divides $| X (H) |$ . We call a finite abelian group $X$ a transfer kernel for $G$ if $X ≅ X (H)$ for some group extension $A ↪ H ↠ G$ . After characterizing transfer kernels in terms of integral representations of $G$ , we show that $X$ is a transfer kernel for the abelian group $G$ if and only if $| G | X = 0$ and $| G |$ divides $| X |$ . Our arguments give a new proof of Suzuki’s result.

MR Zbl

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K. W. Gruenberg; A. Weiss. Capitulation and transfer kernels. Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 12 (2000) no. 1, pp. 219-226. https://jtnb.centre-mersenne.org/item/JTNB_2000__12_1_219_0/

Bibliographie
Cité par

[G] K.W. Gruenberg, Relation Modules of Finite Groups. CBMS Monograph 25, Amer. Math. Soc., Providence, R.I., 1976. | MR | Zbl

[GW] K.W. Gruenberg, A. Weiss, Galois invariants for units. Proc. London Math. Soc. 70 (1995), 264-284. | MR | Zbl

[J] J.-F. Jaulent, L'état actuel du problème de la capitulation. Sem. de Théorie des Nombres de Bordeaux, 1987-1988, exposé no. 17. | Zbl

[L] S. Lang, Algebraic Number Theory. Springer, New York, 1994. | MR | Zbl

[M] K. Miyake, Algebraic investigations of Hilbert's Theorem 94, the principal ideal theorem and the capitulation problem. Expo. Math. 7 (1989), 289-346. | MR | Zbl

[S] H. Suzuki, A generalization of Hilbert's Theorem 94. Nagoya Math. J. 121 (1991), 161-169. | MR | Zbl