An almost-sure estimate for the mean of generalized Q-multiplicative functions of modulus 1
Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 12 (2000) no. 1, pp. 1-12.

Let Q=(Qk)k0,Q0=1,Qk+1=qkQk,qk2, be a Cantor scale, 𝐙Q the compact projective limit group of the groups 𝐙/Qk𝐙, identified to 0jk-1𝐙/qj𝐙, and let μ be its normalized Haar measure. To an element x={a0,a1,a2,},0akqk+1-1, of 𝐙Q we associate the sequence of integral valued random variables xk=0jkajQj. The main result of this article is that, given a complex 𝐐-multiplicative function g of modulus 1, we have

limxkx(1xknxk-1g(n)-0jk1qj0aqjg(aQj))=0μ-a.e.

Soit Q=(Qk)k0,Q0=1,Qk+1=qkQk,qk2,k0 une échelle de Cantor, ZQ le groupe compact 0jZ/qjZ, et μ sa mesure de Haar normalisée. A un élément x of ZQ écrit x={a0,a1,a2,},0akqk+1-1,k0, on associe la suite xk=0jkajQj. On montre que si g est une fonction Q-multiplicative unimodulaire, alors

limxkx1xknxk-1g(n)-0jk1qj0aqjg(aQj)=0μ-p.s.

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