An almost-sure estimate for the mean of generalized Q-multiplicative functions of modulus 1
Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 12 (2000) no. 1, pp. 1-12

Let Q=(Q k ) k≥0 ,Q 0 =1,Q k+1 =q k Q k ,q k ≥2, be a Cantor scale, 𝐙 Q the compact projective limit group of the groups 𝐙/Q k 𝐙, identified to ∏ 0≤j≤k-1 𝐙/q j 𝐙, and let μ be its normalized Haar measure. To an element x={a 0 ,a 1 ,a 2 ,⋯},0≤a k ≤q k+1 -1, of 𝐙 Q we associate the sequence of integral valued random variables x k =∑ 0≤j≤k a j Q j . The main result of this article is that, given a complex 𝐐-multiplicative function g of modulus 1, we have

lim x k →x (1 x k ∑ n≤x k -1 g(n)-∏ 0≤j≤k 1 q j ∑ 0≤a≤q j g(aQ j ))=0μ-a.e.

Soit Q=(Q k ) k≥0 ,Q 0 =1,Q k+1 =q k Q k ,q k ≥2,k≥0 une échelle de Cantor, Z Q le groupe compact ∏ 0≤j Z/q j Z, et μ sa mesure de Haar normalisée. A un élément x of Z Q écrit x={a 0 ,a 1 ,a 2 ,⋯},0≤a k ≤q k+1 -1,k≥0, on associe la suite x k =∑ 0≤j≤k a j Q j . On montre que si g est une fonction Q-multiplicative unimodulaire, alors

lim x k →x 1 x k ∑ n≤x k -1 g(n)-∏ 0≤j≤k 1 q j ∑ 0≤a≤q j g(aQ j )=0μ-p.s.

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Jean-Loup Mauclaire. An almost-sure estimate for the mean of generalized $Q$-multiplicative functions of modulus $1$. Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 12 (2000) no. 1, pp. 1-12. https://jtnb.centre-mersenne.org/item/JTNB_2000__12_1_1_0/

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