On integral representations by totally positive ternary quadratic forms
Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 12 (2000) no. 1, pp. 147-164.

Soit K un corps de nombres algébrique totalement réel dont l’anneau d’entiers R est un anneau principal. Soit f(x 1 ,x 2 ,x 3 ) une forme quadratique ternaire totalement définie à coefficients dans R. Nous étudions les représentations par f d’entiers totalement positifs N∈R. Nous démontrons une formule qui lie le nombre de représentations de N par des classes différentes dans le genre de f, au nombre de classes de R[-c f N], où c f ∈R est une constante qui dépend seulement de f. Nous donnons une démonstration algébrique du résultat classique de H. Maass sur les représentations comme sommes de trois carrés d’entiers de ℚ(5) et une dépendance explicite entre le nombre de représentations et le nombre de classes du corps biquadratique correspondant. Nous donnons également des formules analogues pour certaines formes quadratiques provenant d’ordres quaternioniques maximaux de nombre de classe 1, sur les entiers de corps de nombres quadratiques réels.

Let K be a totally real algebraic number field whose ring of integers R is a principal ideal domain. Let f(x 1 ,x 2 ,x 3 ) be a totally definite ternary quadratic form with coefficients in R. We shall study representations of totally positive elements N∈R by f. We prove a quantitative formula relating the number of representations of N by different classes in the genus of f to the class number of R[-c f N], where c f ∈R is a constant depending only on f. We give an algebraic proof of a classical result of H. Maass on representations by sums of three squares over the integers in ℚ(5) and obtain an explicit dependence between the number of representations and the class number of the corresponding bi-quadratic field. We also give similar formulae for some quadratic forms arising from maximal quaternion orders, with class number one, over the integers in real quadratic number fields.

@article{JTNB_2000__12_1_147_0,
     author = {Elise Bj\"orkholdt},
     title = {On integral representations by totally positive ternary quadratic forms},
     journal = {Journal de th\'eorie des nombres de Bordeaux},
     pages = {147--164},
     publisher = {Universit\'e Bordeaux I},
     volume = {12},
     number = {1},
     year = {2000},
     zbl = {1025.11008},
     mrnumber = {1827845},
     language = {en},
     url = {https://jtnb.centre-mersenne.org/item/JTNB_2000__12_1_147_0/}
}
TY  - JOUR
AU  - Elise Björkholdt
TI  - On integral representations by totally positive ternary quadratic forms
JO  - Journal de théorie des nombres de Bordeaux
PY  - 2000
SP  - 147
EP  - 164
VL  - 12
IS  - 1
PB  - Université Bordeaux I
UR  - https://jtnb.centre-mersenne.org/item/JTNB_2000__12_1_147_0/
LA  - en
ID  - JTNB_2000__12_1_147_0
ER  - 
%0 Journal Article
%A Elise Björkholdt
%T On integral representations by totally positive ternary quadratic forms
%J Journal de théorie des nombres de Bordeaux
%D 2000
%P 147-164
%V 12
%N 1
%I Université Bordeaux I
%U https://jtnb.centre-mersenne.org/item/JTNB_2000__12_1_147_0/
%G en
%F JTNB_2000__12_1_147_0
Elise Björkholdt. On integral representations by totally positive ternary quadratic forms. Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 12 (2000) no. 1, pp. 147-164. https://jtnb.centre-mersenne.org/item/JTNB_2000__12_1_147_0/

[1] E. Björkholdt, Reserch report NO 1997-44, Göteborg, 1997.

[2] J. Brzezinski, A combinatorial class number formula. J. Reine Angew. Math. 402 (1989), 199-210. | MR | Zbl

[3] J. Brzezinski, On automorphisms of quaternion orders. J. Reine Angew. Math. 403 (1990), 166-186. | MR | Zbl

[4] J. Brzezinski, On embedding numbers into quaternion orders. Comment. Math. Helvetici 66 (1991), 302-318. | MR | Zbl

[5] E.N. Donkar, On Sums of Three Integral Squares in Algebraic Number Fields. Am. J. Math. 99 (1977), 1297-1328. | MR | Zbl

[6] J. Dzewas, Quadratsummen in reell-quadratischen Zahlkörpern. Matematische Nachrichten 21 (1960), 233-284. | MR | Zbl

[7] M. Eichler, Zur Zahlentheorie der Quaternionen-Algebren. J. Reine Angew. Math. 195 (1955), 127-151. | MR | Zbl

[8] J.G. Huard, B.K. Spearman, K.S. Williams, Integral Bases for Quartic Fields with Quadratic Subfields. J. Number Theory 51 (1995), 87-102. | MR | Zbl

[9] I. Kaplansky, Submodules of quaternion algebras. Proc. London Math. Soc. 19 (1969), 219-232. | MR | Zbl

[10] O. Körner, Ordnungen von Quaternionalgebren über lokalen Körpern. J. Reine Angew. Math. 333 (1982), 162-178. | MR | Zbl

[11] H.W. Lenstra Jr., Quelques examples d'anneaux euclidiens. C. R. Acad. Sci. 286 (1978), 683-685. | MR | Zbl

[12] H. Maass, Über die Darstellung total positiver Zahlen des Körpers R(√5) als Summe von drei Quadraten. Abh. Math. Sem. Hamburg 14 (1941), 185-191. | JFM | Zbl

[13] J. Neukirch, Algebraische Zahlentheorie. Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 1992. | Zbl

[14] M. Peters, Ternäre und quaternäre quadratische Formen und Quaternionalgebren. Acta Arith. 15 (1969), 329-365. | MR | Zbl

[15] H.P. Rehm, On a Theorem of Gauss Concerning the Number of Integral Solutions of the Equation x2 + y2 + z2 = m. Lecture Notes in Pure and Applied Mathematics Vol. 79, (O. Taussky-Todd, Ed.), Dekker, New York, 1982. | Zbl

[16] I. Reiner, Maximal Orders. Academic Press Inc. (London) Ltd, 1975. | MR | Zbl

[17] T.R. Shemanske, Representations of Ternary Quadratic Forms and the Class Number of Imaginary Quadratic Fields. Pacific J. Math. 122 (1986), 223-250. | MR | Zbl

[18] T.R. Shemanske, Ternary Quadratic Forms and Quaternion Algebras. J. Number Theory 23 (1986), 203-209. | MR | Zbl

[19] V. Schneider, Die elliptischen Fixpunkte zu Modulgruppen in Quaternionen-schiefkorpern. Math. Ann. 217 (1975), 29-45. | MR | Zbl

[20] B K. Spearman, K.S. Williams, Relative integral bases for quartic fields over quadratic subfields. Acta Math. Hungar. 70 (3) (1996), 185-192. | MR | Zbl

[21] M-F. Vignéras, Arithmétique des Algèbres de Quaternions. Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 1980. | MR | Zbl