Théorèmes de réflexion

Georges Gras

Georges Gras

Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 10 (1998) no. 2, pp. 399-499.

Résumé
Abstract

Soit $K$ un corps de nombres contenant $μ_{p}$ et muni d’un groupe d’automorphismes $G$ d’ordre étranger à $p$ ; pour toute représentation $𝔽_{p}$ -irréductible $V_{χ}$ de $G$ , de caractère $χ$ , et tout $G$ -module $M$ , soit rg $_{χ} (M)$ l’entier $r$ maximum tel que $M / M^{p}$ contienne $V_{χ}^{r}$ . Nous établissons par exemple la formule générale explicite suivante :

r g_{χ^{*}} (C ℓ_{T}^{S}) - r g_{χ} (C ℓ_{S}^{T}) = ρ_{χ} (T, S),

où

T

et

S

sont des ensembles finis disjoints de places de

K

tels que

T \cup S

contienne les places au-dessus de

p \infty

, où

C ℓ_{T}^{S}

est le groupe de classes généralisées qui correspond, par le corps de classes, au groupe de Galois de la

p

-extension abélienne maximale

T

-ramifiée,

S

-décomposée de

K

, et où

ρ_{χ} (T, S)

est une expression algébrique élémentaire et * l’involution qui échange les caractères selon la dualité de Kummer classique. Cette formule, ainsi que celles obtenues en dehors de l’hypothèse sur les places au-dessus de

p \infty

, conduisent à la théorie la plus générale du “Spiegelungssatz” de Scholz-Leopoldt-Kuroda (i.e. avec conducteurs), à la généralisation d’un grand nombre de résultats isolés (notamment dans le subtil cas

p = 2

), et enfin à des formules de rangs pour les principaux invariants arithmétiques attachés à

K

.

Let $K$ be a number field containing $μ_{p}$ and supplied with a group of automorphisms $G$ of prime to $p$ order ; for all $𝔽_{p}$ -irreducible representation $V_{χ}$ of $G$ , with character $χ$ , and all G-module $M$ , let rg $_{χ} (M)$ be the maximal integer $r$ such that $M / M^{p}$ contains $V_{χ}^{r}$ . We obtain for instance the following explicit general formula :

r g_{χ^{*}} (C ℓ_{T}^{S}) - r g_{χ} (C ℓ_{S}^{T}) = ρ_{χ} (T, S),

where

T

and

S

are finite disjoint sets of places of

K

such that

T \cup S

contains all places above

p \infty

, where

C ℓ_{T}^{S}

is the generalized class group corresponding, by class field theory, to the Galois group of the maximal abelian

p

-extension,

T

-ramified and

S

-splitted of

K

, and

ρ_{χ} (T, S)

is an elementary algebraic expression and * the involution which acts on characters according to classical Kummer duality. This formula, and those obtained without the hypothesis about the places above

p_{\infty}

, give the most general “Spiegelungssatz” of Scholz-Leopoldt-Kuroda (i.e. with conductors), generalizations of a great number of isolated results (especially in the subtil case

p = 2

), and rank formulas for the main arithmetical invariants attached to

K

.

MR Zbl

Mots clés : «Spiegelungssatz» avec conducteurs, théorème de Scholz-Leopoldt-Kuroda, corps de classes, groupes de classes généralisées, unités, représentations et caractères, $\chi $-rangs, $p$-rangs, extensions de Kummer, décomposition des idéaux premiers, $p$-ramification abélienne, conjecture de Leopoldt-Jaulent, $K$-théorie des anneaux d’entiers

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Georges Gras. Théorèmes de réflexion. Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 10 (1998) no. 2, pp. 399-499. https://jtnb.centre-mersenne.org/item/JTNB_1998__10_2_399_0/

Bibliographie
Cité par

[AF] J.V. Armitage, A. Fröhlich, Class numbers and unit signatures. Mathematika 14 (1967), 94-98. | MR | Zbl

[AT] E. Artin, J. Tate, Class field theory. Benjamin, New York-Amsterdam 1967. | MR | Zbl

[B] J. Browkin, On the p-rank of the tame kernel of algebraic number fields. J. Reine Angew. Math. 432 (1992), 135-149. | MR | Zbl

[CF] J.W.S. Cassels, A. Frôhlich, Algebraic number theory. Academic Press, London-New York 1967. | MR | Zbl

[Co] M.J. Collins, Representations and characters of finite groups. Cambridge Studies in advanced mathematics 22, Cambridge University Press 1990. | MR | Zbl

[Em] M. Emsalem, Rang p-adique de groupes de S-unités d'un corps de nombres. C.R. Acad. Sci. Paris 297 (1983), 225-228. | MR | Zbl

[G1] G. Gras, Groupe de Galois de la p-extension abélienne p-ramifiée maximale d'un corps de nombres. J. Reine Angew. Math. 333 (1982), 86-132. | MR | Zbl

[G2] G. Gras, Logarithme p-adique et groupes de Galois. J. Reine Angew. Math. 343 (1983), 64-80. | MR | Zbl

[G3] G. Gras, Remarks on K2 of number fields. J. Number Theory 23 (1986), 322-335. | MR | Zbl

[G4] G. Gras, Annulation du groupe des l-classes généralisées d'une extension abélienne réelle de degré premier à l. Ann. Inst. Fourier 29 (1979), no. 1, 15-32. | Numdam | MR | Zbl

[G5] G. Gras, Critère de parité du nombre de classes des extensions abéliennes réelles de Q de degré impair. Bull. Soc. Math. France 103 (1975), 177-190. | Numdam | MR | Zbl

[G6] G. Gras, Théorie des genres analytique des fonctions L p-adiques des corps totalement réels. Invent. math. 86 (1986), 1-17. | MR | Zbl

[GMN] M.-N. Gras, Méthodes et algorithmes pour le calcul numérique du nombre de classes et des unités des extensions cubiques cycliques de Q. J. Reine Angew. Math. 277 (1975), 89-116. | MR | Zbl

[Hag] R. Haggenmüller, Signaturen von Einheiten und unverzweigte quadratische Erweiterungen total-reller Zahlkörper. Arch. Math. 39 (1982), 312-321. | MR | Zbl

[H] H. Hasse, Bericht über neuere Untersuchungen und Probleme aus der Theorie der algebraischen Zahlkörper I, Ia, II, Physica Verlag, Würzburg, 1965.

[He1] E. Hecke, Über nicht-reguläre Primzahlen und den Fermatschen Satz. Göttingen Nachr., Math. Phys. Kl. (1910), 420-424. | JFM

[He2] E. Hecke, Lectures on the theory of algebraic numbers (Trad. from german), Graduate Texts in Mathematics, 77, Springer-Verlag, 1981. | MR | Zbl

[HK] J. Hurrelbrink, M. Kolster, Tame kernel under relative quadratic extensions and Hilbert symbols. Preprint Series, 4 (1996/97) . | MR

[J1] J.-F. Jaulent, L'arithmétique des l-extensions (Thèse d'Etat), Université de Franche-Comté, Besançon, Publ. Math. Fac. Sci. Besançon (Théorie des Nombres), Années 1984/85-1985/86. | MR | Zbl

[J2] J.-F. Jaulent, Représentations l-adiques et invariants cyclotomiques. Publ. Math. Fac. Sci. Besançon (Théorie des Nombres), Année 1983/1984. | MR | Zbl

[J3] J.-F. Jaulent, Sur quelques représentations l-adiques liées aux symboles et à la l-ramification. Sém. Théorie des Nombres de Bordeaux 23, Année 1983/ 1984. | MR | Zbl

[J4] J.-F. Jaulent, Dualité dans les corps surcirculaires. Sém. Théorie des Nombres, Paris (1986 /87), Progress in Mathematics, 75, Birkhäuser 1988, 183-220. | MR | Zbl

[J5] J.-F. Jaulent, Sur l'indépendance l-adique de nombres algébriques. J. Number Theory 20 (1985), 149-158. | MR | Zbl

[K1] B. Kahn, Descente galoisienne et K2 des corps de nombres. K-Theory 7 (1993), 55-100. | MR | Zbl

[K2] B. Kahn, The Quillen-Lichtenbaum conjecture at the prime 2. (prépublication, 1997).

[Ke] F. Keune, On the structure of the K2 of the ring of integers in a number field. K-Theory 2 (1989), no. 5, 625-645. | MR | Zbl

[Ko] H. Koch (Parshin, A.N., Šafarevič, I.R., Eds.), Number Theory II. Encycl. of Math. Sci., vol. 62, Springer-Verlag, 1992. | MR | Zbl

[Kol] M. Kolster, Remarks on étale K-theory and Leopoldt's conjecture. Sém. Théorie des Nombres, Paris (1991/92), Progress in Mathematics, 116, Birkhäuser 1994, 37-62. | MR | Zbl

[K] E.E. Kummer (Weil, A., Ed.), Ernst Edward Kummer collected papers I: Contributions to Number Theory. Springer-Verlag, 1975. | MR | Zbl

[Ku] S.-N. Kuroda, Über den Allgemeinen Spiegelungssatz für Galoissche Zahlkörper. J. Number Theory 2 (1970), 282-297. | MR | Zbl

[La] J.C. Lagarias, Signatures of units and congruences (mod 4) in certain totally real fields. J. Reine Angew. Math. 320 (1980), 1-5. | MR | Zbl

[L] S. Lang, Algebraic Number Theory. Second edition. Graduate Texts in Mathematics, 110. Springer-Verlag, New York, 1994. | MR | Zbl

[Le] H.W. Leopoldt, Zur Struktur der t-Klassengruppe galoischer Zahlkörper. J. Reine Angew. Math. 199 (1958), 165-174. | MR | Zbl

[M] C. Maire, Extensions T-ramifiées modérées, S-décomposées (Thèse de Doctorat), Université de Franche-Comté, Besançon 1995.

[MN] A. Movahhedi, T. Nguyen Quang Do, Sur l'arithmétique des corps de nombres p-rationnels. Sém. Théorie des Nombres, Paris (1987/89), Progress in Mathematics, 81, Birkhäuser 1990, 155-200. | MR | Zbl

[N1] T. Nguyen Quang Do, Sur la Zp-torsion de certains modules galoisiens. Ann. Inst. Fourier 36 (1986), 27-46. | Numdam | MR | Zbl

[N2] T. Nguyen Quang Do, Sur la torsion de certains modules galoisiens II. Sém. Théorie des Nombres, Paris (1986/87), Progress in Mathematics, 75, Birkhäuser 1988, 271-297. | MR | Zbl

[N3] T. Nguyen Quang Do, Une étude cohomologique de la partie 2-primaire de K2 O. K-Theory 3 (1990), 523-542. | MR | Zbl

[O1] B. Oriat, Généralisation du "Spiegelungssatz". Soc. Math. France, Astérisque 61 (1979), 169-175. | Zbl

[O2] B. Oriat, Relation entre les 2-groupes des classes d'idéaux au sens ordinaire et restreint de certains corps de nombres. Bull. Soc. Math. France 104 (1976), 301-307. | Numdam | MR | Zbl

[03] B. Oriat, Relations entre les 2-groupes des classes d'idéaux des extensions quadratiques k(√d) et k(√-d). Ann. Inst. Fourier 27 (1977), 37-59. | Numdam | Zbl

[O4] B. Oriat, Annulation de groupes de classes réelles. Nagoya Math. J. 81 (1981), 45-56. | MR | Zbl

[OS] B. Oriat, P. Satgé, Un essai de généralisation du "Spiegelungssatz" . J. Reine Angew. Math. 307/308 (1979), 134-159. | MR | Zbl

[R] Reiner I., Maximal orders. Academic Press, London 1975. | MR | Zbl

[Ro] D. Roy (Gouvêa, F., Ed.), On the v-adic independance of algebraic numbers, Advances in Number Theory. Proc. 3e conf. Théorie des Nombres, Queen's Univ., Kingston, Canada (1991), Clarendon Press, Oxford 1993, 441-451. | MR | Zbl

[Š] I.R. Šafarevič, Extensions with given points of ramification. Publ. Math. Inst. Hautes Etudes Sci. 18 (1964), 71-95 (A.M.S. Transl. Ser.2 59 (1966), 128-149). | MR | Zbl

[S] C.-G. Schmidt, On ray class annihilators of cyclotomic fields. Invent. math. 66 (1982), 215-230. | MR | Zbl

[Sc] A. Scholz, Über die Bezeichung der Klassenzahlen quadratischer Körper zueinander. J. Reine Angew. Math. 166 (1932), 201-203. | JFM | Zbl

[S1] J.-P. Serre, Représentations linéaires des groupes finis. coll. Méthodes, Hermann, 3e ed., Paris 1978. | MR | Zbl

[S2] J.-P. Serre, Corps locaux. Hermann 1962. | MR | Zbl

[So] C. Soulé, K-théorie des anneaux d'entiers de corps de nombres et cohomologie étale. Invent. Math. 55 (1979), 251-295. | MR | Zbl

[T] J. Tate, Relations between K2 and galois cohomology. Invent. Math. 36 (1976), 257-274. | MR | Zbl

[TBS] J. Tate, Les conjectures de Stark sur les fonctions L d'Artin en s = 0. Lecture notes edited by Dominique Bernardi and Norbert Schappacher. Progress in Mathematics, 47. Birkhäuser Boston, Inc., Boston, Mass., 1984. | MR | Zbl

[Ta] M. Taylor, Galois module structure of class groups and units. Mathematika 22 (1975), 156-160. | MR | Zbl

[W] L.C. Washington, Introduction to cyclotomic fields. Springer, New York-Heidelberg -Berlin, 1982. | MR | Zbl

[We] A. Weiss, Multiplicative module structure. Fields Institute Monographs, A.M.S. 1996. | Zbl