Un arbre de constantes d'approximation analogue à celui de l'équation diophantienne de Markoff

Serge Perrine

Serge Perrine

Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 10 (1998) no. 2, pp. 321-353.

Résumé
Abstract

La théorie de Markoff classique, construite autour de l’équation diophantienne $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 3 x y z$ donne les constantes d’approximation des nombres irrationnels supérieures à $(1 / 3)$ . Dans le présent article, on explicite une théorie équivalente autour de la valeur $(1 / 4)$ . Elle est intimement liée à l’équation diophantienne $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 4 x y z - x$ pour laquelle on construit explicitement un arbre associé.

The classical Markoff theory related to the diophantine equation $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 3 x y z$ gives the constants of approximation greater than $(1 / 3)$ for irrational numbers. In the present article is explicitly given a similar theory near $(1 / 4)$ . It is intimately connected with the diophantine equation $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 4 x y z - x$ for which an associated tree is explicitly built.

MR Zbl

@article{JTNB_1998__10_2_321_0,
     author = {Serge Perrine},
     title = {Un arbre de constantes d'approximation analogue \`a celui de l'\'equation diophantienne de {Markoff}},
     journal = {Journal de th\'eorie des nombres de Bordeaux},
     pages = {321--353},
     publisher = {Universit\'e Bordeaux I},
     volume = {10},
     number = {2},
     year = {1998},
     zbl = {0924.11057},
     mrnumber = {1828249},
     language = {fr},
     url = {https://jtnb.centre-mersenne.org/item/JTNB_1998__10_2_321_0/}
}

TY  - JOUR
AU  - Serge Perrine
TI  - Un arbre de constantes d'approximation analogue à celui de l'équation diophantienne de Markoff
JO  - Journal de théorie des nombres de Bordeaux
PY  - 1998
SP  - 321
EP  - 353
VL  - 10
IS  - 2
PB  - Université Bordeaux I
UR  - https://jtnb.centre-mersenne.org/item/JTNB_1998__10_2_321_0/
LA  - fr
ID  - JTNB_1998__10_2_321_0
ER  -

%0 Journal Article
%A Serge Perrine
%T Un arbre de constantes d'approximation analogue à celui de l'équation diophantienne de Markoff
%J Journal de théorie des nombres de Bordeaux
%D 1998
%P 321-353
%V 10
%N 2
%I Université Bordeaux I
%U https://jtnb.centre-mersenne.org/item/JTNB_1998__10_2_321_0/
%G fr
%F JTNB_1998__10_2_321_0

Serge Perrine. Un arbre de constantes d'approximation analogue à celui de l'équation diophantienne de Markoff. Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 10 (1998) no. 2, pp. 321-353. https://jtnb.centre-mersenne.org/item/JTNB_1998__10_2_321_0/

Bibliographie
Cité par

[1] J.W.S. Cassels, An introduction to diophantine approximation. Cambridge Tracts in Mathematics and Mathematical Physics, No. 45, Cambridge University Press, New-York, 1957. | MR | Zbl

[2] J.L. Colliot-Thélène, Les grands thèmes de François Châtelet. Enseig. Math.(2) 34 (1988), no. 3-4, 387-405. | MR | Zbl

[3] T.W. Cusick, On Perrine's generalized Markoff equation. Aequationes Mathematicae 46 (1993), 203-211. | MR | Zbl

[4] T.W. Cusick and M.E. Flahive, The Markoff and Lagrange spectra. Mathematical surveys and monographs, 30. American Mathematical Society, Providence, RI, 1989. | MR | Zbl

[5] A.A. Markoff, Sur les formes quadratiques binaires indéfinies. Math. Ann. 6 (1879), 381-406; Math Ann. 17 (1880), 379-399. | JFM | MR

[6] S. Perrine, Approximation diophantienne (Théorie de Markoff). Thèse présentée à l'Université de Metz (décembre 1988).

[7] S. Perrine, Sur une généralisation de la théorie de Markoff. J. Number Theory 37 (1991), 211-230. | MR | Zbl

[8] S. Perrine, Sur des équations diophantiennes généralisant celle de Markoff. Ann. Fac. Sci. Toulouse Math.(6) 6 (1997), no. 1, 127-141. | Numdam | MR | Zbl

[9] A.L. Schmidt, Minimum et quadratic forms with respect to fuchsian groups (I). J. Reine Angew. Math. 286/287 (1976), 341-348. | MR | Zbl

[10] B. Segre, Arithmetic upon an algebraic surface. Bull. Amer. Math. Soc. 51 (1945), 152-161. | MR | Zbl