Propriétés arithmétiques et dynamiques du fractal de Rauzy

Ali Messaoudi

Ali Messaoudi

Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 10 (1998) no. 1, pp. 135-162.

Résumé
Abstract

Dans ce travail, nous construisons explicitement deux isomorphismes métriques partout continus. L’un entre le système dynamique symbolique associé à la substitution $σ : 0 \mapsto 01, 1 \mapsto 02, 2 \mapsto 0$ et une rotation sur le tore $𝕋^{2}$ ; l’autre, entre le système adique stationnaire [33] associé à la matrice de la substitution et la même rotation. Pour cela, nous étudions les propriétés arithmétiques de la frontière d’un ensemble compact de $ℂ$ appelé “fractal de Rauzy”. Les constructions se généralisent aux substitutions de la forme $σ_{k} : 0 \mapsto 01, 1 \mapsto 02, \dots k - 1 \mapsto 0 k, k \mapsto 0$ où $k > 2$ .

Here we construct explicitly two metrical isomorphisms everywhere continuous. One between the symbolic dynamical system associated to the substitution $σ : 0 \mapsto 01, 1 \mapsto 02, 2 \mapsto 0$ and a rotation of the torus $𝕋^{2}$ ; the other is between the adic stationary system associated to the matrix of the substitution and the same rotation. For this we study the arithmetical properties of the boundary of a compact subset of $𝐂$ namely the “Rauzy fractal”. The constructions are generalised to substitutions $σ_{k} : 0 \mapsto 01, 1 \mapsto 02, \dots k - 1 \mapsto 0 k, k \mapsto 0 où k > 2$ .

MR Zbl

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