Construction of Ray class fields by elliptic units
Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 9 (1997) no. 2, pp. 383-394.

From complex multiplication we know that elliptic units are contained in certain ray class fields over a quadratic imaginary number field K, and Ramachandra [3] has shown that these ray class fields can even be generated by elliptic units. However the generators constructed by Ramachandra involve very complicated products of high powers of singular values of the Klein form defined below and singular values of the discriminant Δ. It is the aim of this paper to show, that in many cases a generator over K can be constructed as a power of one singular value of the Klein form or as a quotient of two such values. The latter are very suitable for numerical purposes because it turns out that the coefficients of their minimal polynomials are rather small, as it can be seen in the numerical examples at the end of this article.

En multiplication complexe, il est démontré que les unités elliptiques sont contenues dans certains corps de classes de rayon sur un corps quadratique imaginaire K, et Ramachandra [3] a démontré que ces corps peuvent être engendrés sur K par des unités elliptiques. Pourtant les générateurs construits par Ramachandra impliquent des produits assez compliqués de grandes puissances de valeurs singulières de la fonction de Felix Klein définie plus bas, ainsi que des produits de valeurs du discriminant Δ. Nous démontrons dans cet article que dans la plupart des cas un générateur est donné par une puissance d’une valeur singulière de la fonction de Felix Klein ou bien par le quotient de deux de ces valeurs. Ces dernières sont très utiles pour des raisons numériques, car les coefficients de leurs polynômes minimaux sont relativement petits, ce qui est mis en évidence par des exemples en fin d’article.

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[1] D. Kubert, S. Lang, Modular Units, Grundlehren Math. Wiss., Vol. 244, Springer-Verlag, New-York/ Berlin, (1981). | MR | Zbl

[2] C. Meyer, Die Berechnung der Klassenzahl abelscher Körper über quadratischen Zahlkörpern, Akademie-Verlag, Berlin (1957). | MR | Zbl

[3] K. Ramachandra, Some Applications of Kronecker's limit formula, Ann. Math. 80 (1964), 104-148. | MR | Zbl

[4] R. Schertz, Galoismodulstruktur und elliptische Funktionen, Journal of Number Theory, Vol. 39, No. 3, (1991. | MR | Zbl

[5] R. Schertz, Problèmes de construction en multiplication complexe, Séminaire de Théorie des Nombres de Bordeaux 4 (1992), 239-262. | Numdam | MR | Zbl

[6] R. Schertz, Zur expliziten Berechnung von Ganzheitsbasen in Strahlklassenkörpern über einem imaginär-quadratischen Zahlkörper, Journal of Number Theory, Vol. 34, No. 1 (1990), 41-53. | MR | Zbl

[7] H. Stark, L-functions at s = 1, IV, Advances in Math. 35 (1980), 197-235. | MR | Zbl