Sur les nombres premiers généralisés de Beurling. Preuve d'une conjecture de Bateman et Diamond

Jean-Pierre Kahane

Jean-Pierre Kahane

Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 9 (1997) no. 2, pp. 251-266.

Résumé
Abstract

Soit $P$ une partie discrète et multiplicativement libre de la demi-droite ouverte $] 1, \infty [$ , et $N$ le semi-groupe unitaire engendré par $P$ . Les éléments de $P$ s’appellent nombres premiers généralisés et ceux de $N$ entiers généralisés. Les fonctions de décompte correspondantes sont désignées $P (x)$ et $N (x$ ). Le problème de Beurling consiste à donner des conditions sur $N (x)$ qui entrainent le “ théorème des nombres premiers ” $P (x) \sim x / log x (x \to \infty)$ . En posant $N (x) = D x + x ϵ (x)$ , la condition de Beurling est $ϵ (x) = O ({(log x)}^{- a})$ avec $a > \frac{3}{2}$ , et il y a un contre-exemple avec $a = \frac{3}{2}$ . L’article montre que la condition $ϵ (x) log x \in L^{2} (ℝ^{+}, d x / x)$ est suffisante, comme l’avaient conjecturé Bateman et Diamond.

Given $P$ , a discrete and multiplicatively free subset of the open half line $] 1, \infty [$ , let $N$ be the multiplicative semigroup generated by $1$ and $P$ . The elements of $P$ resp. $N$ are called generalized primes resp. integers. The counting functions are denoted by $P (x)$ and $N (x)$ . Beurling’s problem is to give conditions on $N (x)$ which imply the “prime number theorem” $P (x) \sim x / log x (x \to \infty)$ . Assuming $N (x) = D x + x ϵ (x) (ϵ \to 0)$ , Beurling’s condition is $ϵ (x) = O ({(log x)}^{- a})$ with $a$ > $\frac{3}{2}$ , and $a = \frac{3}{2}$ does not work. The article proves that the condition $ϵ (x) log x \in L^{2} (ℝ^{+}, d x / x)$ is sufficient, as conjectured by Bateman and Diamond.

EuDML MR Zbl

@article{JTNB_1997__9_2_251_0,
     author = {Jean-Pierre Kahane},
     title = {Sur les nombres premiers g\'en\'eralis\'es de {Beurling.} {Preuve} d'une conjecture de {Bateman} et {Diamond}},
     journal = {Journal de th\'eorie des nombres de Bordeaux},
     pages = {251--266},
     publisher = {Universit\'e Bordeaux I},
     volume = {9},
     number = {2},
     year = {1997},
     zbl = {0905.11042},
     mrnumber = {1617397},
     language = {fr},
     url = {https://jtnb.centre-mersenne.org/item/JTNB_1997__9_2_251_0/}
}

TY  - JOUR
AU  - Jean-Pierre Kahane
TI  - Sur les nombres premiers généralisés de Beurling. Preuve d'une conjecture de Bateman et Diamond
JO  - Journal de théorie des nombres de Bordeaux
PY  - 1997
SP  - 251
EP  - 266
VL  - 9
IS  - 2
PB  - Université Bordeaux I
UR  - https://jtnb.centre-mersenne.org/item/JTNB_1997__9_2_251_0/
LA  - fr
ID  - JTNB_1997__9_2_251_0
ER  -

%0 Journal Article
%A Jean-Pierre Kahane
%T Sur les nombres premiers généralisés de Beurling. Preuve d'une conjecture de Bateman et Diamond
%J Journal de théorie des nombres de Bordeaux
%D 1997
%P 251-266
%V 9
%N 2
%I Université Bordeaux I
%U https://jtnb.centre-mersenne.org/item/JTNB_1997__9_2_251_0/
%G fr
%F JTNB_1997__9_2_251_0

Jean-Pierre Kahane. Sur les nombres premiers généralisés de Beurling. Preuve d'une conjecture de Bateman et Diamond. Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 9 (1997) no. 2, pp. 251-266. https://jtnb.centre-mersenne.org/item/JTNB_1997__9_2_251_0/

Bibliographie
Cité par

[1] Bateman P.T. and Diamond H.G., Asymptotic distribution of Beurling's generalized prime numbers, Studies in number theory, M.A.A. Studies 6, (W. J. Leveque, ed.), 1969. | Zbl

[2] Beurling A., Analyse de la loi asymptotique de la distribution des nombres premiers généralisés, Acta Math. 68 (1937), 255-291. | JFM | Zbl

[3] Diamond H.G., The prime number theorem for Beurling's generalized numbers, J. Number Theory 1 (1969), 200-207. | MR | Zbl

[4] Kahane J.-P., Une formule de Fourier sur les nombres premiers, Gazette des Mathématiciens 67 (janvier 1996), 3-9. | MR | Zbl

[5] Kahane J.-P., Une formule de Fourier pour les nombres premiers, application aux nombres premiers généralisés de Beurling, Publ. Math. Orsay 96.1 (1996), "Harmonic analysis from the Pichorides viewpoint " (Myriam Déchamps, ed.). | MR | Zbl

[6] Kahane J.-P., A Fourier formula for prime numbers, Canadian Mathematical Society Conference Proceedings 21 (1997), 89-102. | MR | Zbl