Universal codes and unimodular lattices

Robin Chapman; Patrick Solé

Robin Chapman ; Patrick Solé

Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 8 (1996) no. 2, pp. 369-376.

Résumé
Abstract

Les codes résidus quadratiques binaires de longueur $p + 1$ produisent par construction $B$ et bourrage des réseaux de type II comme le réseau de Leech. Récemment, il a été prouvé que les codes résidus quadratiques quaternaires produisent les mêmes réseaux par construction $A$ modulo $4$ . Nous montrons de manière directe l’ équivalence des deux constructions pour $p \leq 31$ . En dimension 32 nous obtenons un réseau extrémal de type II qui n’est pas isomètre au réseau de Barnes-Wall $B W_{32}$ . On considère également l’équivalence entre construction $B$ modulo $4$ plus bourrage et construction $A$ modulo $8$ . En dimension 48 elles conduisent toutes deux à une nouvelle description du réseau extrémal de type II appelé $P_{48 q}$ .

Binary quadratic residue codes of length $p + 1$ produce via construction $B$ and density doubling type II lattices like the Leech. Recently, quaternary quadratic residue codes have been shown to produce the same lattices by construction $A$ modulo $4$ . We prove in a direct way the equivalence of these two constructions for $p \leq 31$ . In dimension 32, we obtain an extremal lattice of type II not isometric to the Barnes-Wall lattice $B W_{32}$ . The equivalence between construction $B$ modulo $4$ plus density doubling and construction $A$ modulo $8$ is also considered. In dimension 48 they both led to a new description of the extremal type II lattice $P_{48 q}$ .

MR Zbl

Mots-clés : quadratic residue codes, lattices, construction A, construction B, density doubling

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Robin Chapman; Patrick Solé. Universal codes and unimodular lattices. Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 8 (1996) no. 2, pp. 369-376. https://jtnb.centre-mersenne.org/item/JTNB_1996__8_2_369_0/

Bibliographie
Cité par

[1] A. Bonnecaze, P. Solé, C. Bachoc, B. Mourrain, 'Type II Quaternary Codes' IEEE Trans. Inform. Theory, submitted (1995).

[2] A. Bonnecaze, P. Solé & A.R. Calderbank, 'Quaternary quadratic residue codes and unimodular lattices', IEEE Trans. Inform. Theory, vol. 41, pp. 366-377, March 1995. | MR | Zbl

[3] A.R. Calderbank, private communication (1995).

[4] A.R. Calderbank, G. Macguire, P.V. Kumar, T. Helleseth, Cyclic Codes over Z4, Locator polynomials, and Newton identities, preprint (1995). | MR

[5] A.R. Calderbank, N.J.A. Sloane, 'Double Circulant Codes over Z4 and Unimodular Lattices', J. of Algebraic Combinatorics, submitted. | Zbl

[6] J.H. Conway & N.J.A. Sloane, Sphere Packings, Lattices and Groups, Springer-Verlag, 1988. | MR | Zbl

[7] G.D. Forney, 'Coset Codes II: Binary Lattices and related codes', IEEE Trans. Information Th. IT-34 (1988) 1152-1187. | MR | Zbl

[8] H. Koch & B.B. Venkov, Ueber Ganzhalige Unimodulare Euklidische Gitter, Crelle 398 (1989) 144-168. | MR | Zbl

[9] P. Loyer, P. Solé, 'Les Réseaux BW32 et U32 sont équivalents', J. de Th. des Nombres de Bordeaux 6 (1994) 359-362. | Numdam | MR | Zbl

[10] F.J. Macwilliams, N.J.A. Sloane, The theory of error correcting codes North-Holland (1977). | Zbl

[11] V. Pless, Z. Qian, 'Cyclic Codes and Quadratic Residue Codes over Z4 ', IEEE Trans. Information Theory submitted. | MR | Zbl

[12] H-G. Quebbemann, 'Zur Klassifikation unimodularer Gitter mit Isometrie von Primzahlordnung', Crelle 326 (1981) 158-170. | MR | Zbl

[13] R. Schulze-Pillot, 'Quadratic Residue Codes and Cyclotomic lattices ', Arch. Math., Vol. 60 (1993) 40-65. | MR | Zbl