Généralisation d'un résultat de Loxton et van der Poorten

Patrick Gonzalez

Patrick Gonzalez

Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 4 (1992) no. 1, pp. 43-51.

Résumé

In this paper we propose to generalise a result of Loxton and Van der Poorten [1] in the following way. Let $g$ be an integer greater than or equal to two and $C$ be a finite subset of $ℕ$ containing zero. $C$ will be said to be $g$ -free if, for all integers $n$ , the equality $\sum_{i = 0}^{n} c_{i} g^{i} = \sum_{i = 0}^{n} c_{i}^{'} g^{i}$ with $c_{i}, c_{i}^{'} \in C, 0 \leq i \leq n$ for $i = 0, \dots, n$ Let $P$ be the polynomial $\sum_{c \in C} X^{c}, P_{n} = \prod_{i = 0}^{n - 1} P (X^{g} h)$ and $U_{g} n$ the set of the $g^{n}$ -th roots of unity. We shall prove that $C$ is $g$ -free, when $Card C = g$ , if and only if, $Card \{x \in U_{g^{n}}, P_{n} (x) \neq 0\}$ is bounded independently of $n$ .

MR Zbl

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TY  - JOUR
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Bibliographie
Cité par

[1] J.H. Loxton et A. J. Van Der Poorten, An awful problem about integers in base 4, Acta Arith. 49 (1987), 193-203. | MR | Zbl

[2] G. Rauzy, Systèmes de numération, Journées de théorie élémentaire et analytique des nombres, 1982, Valenciennes.